Основание AD трапеции ABCD (AD||BC, AD>BC) является диаметром окружности, которая касается прямой CD в точке D и пересекает сторону AB в точке L так, что AB:AL=4:sqr3. Радиус окружности равен R, уголCAD=45. Найти площадь трапеции.

задан 7 Янв '14 17:20

Пусть E -- точка пересечения AC с окружностью. Длины AE и CE известны. Тогда можно применить свойство секущих, получая, что произведение AL на AB равно произведению AE на AC. Из этих соображений находится AB, затем AD-BC по теореме Пифагора, и отсюда BC. После этого про трапецию нам всё известно, и можно найти площадь. Принцип простой, но числа получаются какие-то не очень приятные.

(7 Янв '14 17:47) falcao

разве свойство о секущих тут можно применить? оно тут вроде неверно записано?

(7 Янв '14 18:18) 292875

@292895: ой, я явную ерунду сказал! Конечно, это совсем не та ситуация, где возникают секущие. Спасибо, что обратили внимание. Сейчас постараюсь произвести "ревизию". Видимо, только по этой причине числа и оказывались "плохими".

(7 Янв '14 20:43) falcao

Попробовала посчитать - что-то и решение не красивое, и числа все равно "нехорошие" получаются.. И какое все-таки соотношение там было: $%AB : AL = 4:\sqrt{3}$% ? ( там корень, "sqrt", или.. ? )

(7 Янв '14 22:07) ЛисаА

@ЛисаА: нет, при таком соотношении там вроде бы всё нормально, и даже угол BAD оказывается равен 60 градусам.

(7 Янв '14 22:54) falcao

Похоже, да ( у меня получилось $%AB = \frac{4R}{\sqrt{3}}$%, т.е. угол $%BAD$% тогда действительно $%=60$%), но выражение для площади разве получается "красивым" ?

(7 Янв '14 23:00) ЛисаА

@ЛисаА: я бы сказал, что оно вполне "допустимое". По крайней мере, там не будет корня четвёртой степени из трёх, который возникал у меня в голове как "призрак" :)

(7 Янв '14 23:11) falcao

=)) да, корней 4-ой степени здесь хотя бы нет =)

(7 Янв '14 23:17) ЛисаА
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

Опустим из точки $%B$% перпендикуляр на $%AD$%, основание которого равно $%K$%. Прямоугольные треугольники $%ABK$% и $%ADL$% подобны. Положим $%AL=x$%; тогда $%AB=4x/\sqrt3$%. При этом $%AK:AB=AL:AD$%, то есть $%AK=\frac{2x^2}{R\sqrt3}$%.

Из теоремы Пифагора, применённой к треугольнику $%ABK$%, следует, что $$\frac{16x^2}3=\frac{4x^4}{3R^2}+4R^2.$$ После упрощений получается биквадратное уравнение $%x^4-4R^2+3R^4=0$%, из которого $%x^2=R^2$% или $%x^2=3R^2$%. Вторую возможность отбрасываем, так как при этом $%AK$% оказывается длиннее $%AD$%. Таким образом, $%x=R$%, и угол $%BAD$% равен 60 градусам. Из этих равенств всё находится: $%AK=2R/\sqrt3$%, сумма оснований трапеции равна $%AD+BC=2AD-AK=2R(2-\frac1{\sqrt3})$%, высота равна $%2R$%. Отсюда выражается площадь.

ссылка

отвечен 7 Янв '14 23:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×730

задан
7 Янв '14 17:20

показан
665 раз

обновлен
7 Янв '14 23:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru