Каждый элемент конечного порядка в P=<G*H;A=B, φ> сопряжен с некоторым элементом конечного порядка в G или H. Книга Линдон, Шупп комбинаторная теория групп. Стр. 257. Заранее благодарен.

задан 7 Янв '14 17:59

изменен 8 Янв '14 18:56

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Для единичного элемента группы всё ясно. Пусть $%x\in P$% неединичен. Среди всех элементов, сопряжённых $%x$%, рассмотрим такой, у которого слоговая длина минимальна, то есть он представляется в виде произведения элементов из $%G$% и $%H$% с наименьшим возможным числом сомножителей. Пусть число таких сомножителей равно $%n$%. Поскольку $%x\ne1$%, число $%n$% отлично от нуля. Если $%n=1$%, то это в точности то, что требуется доказать: элемент $%x$% сопряжён элементу, принадлежащему $%G$% или $%H$%. Конечность порядка при сопряжении сохраняется.

Пусть $%n\ge2$%, то есть мы имеем дело с произведением вида $%c_1\ldots c_n$%, где каждый сомножитель берётся из $%G$% или $%H$%. Соседние элементы при этом не принадлежат одной и той же группе: в противном случае их можно перемножить, уменьшая слоговую длину, то есть число $%n$%. Также можно заметить, что ни при каком $%i$% от $%1$% до $%n$% элемент $%c_i$% не принадлежит $%A=B$%. В противном случае слоговую длину также можно уменьшить ввиду $%n > 1$%.

В рассматриваемом случае верно также то, что элементы $%c_1$% и $%c_n$% берутся из разных подгрупп $%G$% и $%H$%. Если это не так, то можно перейти к сопряжённому элементу, переставляя букву $%c_1$% в конец слова и переходя к произведению $%c_nc_1$%. Таким образом, о произведении можно сказать, что оно циклически приведено в том смысле, о котором говорится на той же странице книги.

Теперь, если порядок элемента $%x$% обозначить через $%m$%, то для его $%m$%-й степени получается произведение вида $%c_1\ldots c_nc_1\ldots c_nc_1\ldots c_n$%, и при этом прежняя последовательность элементов, повторённая $%m$% раз, является приведённой в смысле определения предыдущей страницы. Но она задаёт неединичный элемент по теореме 2.6, что противоречит конечности порядка элемента $%x$%.

ссылка

отвечен 7 Янв '14 18:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,297

задан
7 Янв '14 17:59

показан
486 раз

обновлен
7 Янв '14 18:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru