0
1

a,b,c - такие произвольные натуральные числа, что a+b+c=100. Найти максимальное значение выражения: ab+bc+ac.

задан 7 Янв '14 21:24

изменен 8 Янв '14 19:21

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Числа надо брать примерно равными друг другу, то есть 34, 33, 33 (с точностью до перестановки). Значение $%ab+bc+ac$% при этом равно $%3333$%.

Доказательство таково: предположим, что взяты какие-то другие числа. Тогда разность между наибольшим и наименьшим составляет по крайней мере 2. Пусть $%a-c\ge2$%. Увеличим $%c$% на единицу, уменьшая при этом на единицу $%a$%. Числа останутся в допустимых пределах, то есть будут натуральными. Значение $%a+c$%, а потому и значение $%ab+bc$%, не изменится. Поэтому сравнивать надо старое и новое значение величины $%ac$%. После замены получится $%(a-1)(c+1)=ac+a-c-1 > ac$%. Это значит, что старое значение не было максимальным. Из того факта, что число троек конечно, следует, что оно достигается на какой-то из троек. Согласно доказанному, это может быть только тройка, указанная в начале.

ссылка

отвечен 7 Янв '14 21:41

10|600 символов нужно символов осталось
0

$$2ab\le a^2+b^2$$ $$2ac\le a^2+c^2$$ $$2bc\le b^2+c^2$$ $$2ab+2ac+2bc \le 2a^2+2b^2+2c^2$$ $$ab+ac+bc \le a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ac$$ $$3(ab+ac+bc)\le (a+b+c)^2$$ $$3(ab+ac+bc)\le 100^2$$ $$ab+ac+bc\le 3333\frac13$$ Равенство выполняется при $%a=b=c=33\frac13$%

ссылка

отвечен 7 Янв '14 22:03

@ASailyan: в условии сказано, что числа $%a$%, $%b$%, $%c$% натуральные.

(7 Янв '14 22:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,709

задан
7 Янв '14 21:24

показан
1593 раза

обновлен
7 Янв '14 22:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru