геометрия - Треугольник: доказать: АС = АD + ВD

Рассмотрим точку $%E$% на луче $%AC$% такую, что $%AE=AD$%. При этом углы $%ADE$%, $%AED$% равны 80 градусам, и точка $%E$% лежит на отрезке $%AC$%. Поэтому $%AC=AE+EC$%, и достаточно показать, что $%EC=BD$%.

Построим точку $%F$%, симметричную точке $%B$% относительно биссектрисы $%AD$%. Ясно, что $%F$% будет принадлежать $%AC$%. Угол $%AFD$% при этом будет равен $%ABD$%, то есть 100 градусам. Смежный угол $%CFD$% составит 80 градусов. При этом возникает равнобедренный треугольник $%DEF$%, у которого углы при основании равны 80 градусам, откуда $%DE=DF$%. По построению, $%DF=DB$% в силу симметричности. Осталось заметить, что треугольник $%CED$% равнобедренный, так как его углы при вершинах равны 40, 100 и 40 градусам соответственно. Поэтому $%EC=ED$%. В итоге $%EC=ED=DF=BD$%, что и требовалось.