Пусть $%f(x)$% и $%g(x)$% суммируемы по Лебегу на множестве $%E$% бесконечной меры, причём $%f(x)< g(x)$%.

Я знаю, что $$\int\limits_Ef(x)dx \leq \int\limits_Eg(x)dx$$.

Но я не совсем понимаю, какие условия необходимо потребовать от функции, чтобы сохранилось строгое неравенство?

задан 8 Янв '14 11:26

10|600 символов нужно символов осталось
2

Судя по всему, условия здесь нужно наложить не на функцию, а на пространство с мерой.

Достаточным будет такое условие: пространство является счётным объединением пространств конечной меры. Ограничение довольно естественное, и ему удовлетворяют пространства типа $%{\mathbb R}^n$% и т.п. Доказательство достаточности таково: на любом подмножестве конечной меры множество точек, в которых $%f(x) < g(x)$%, должно иметь меру ноль. В противном случае, по причине счётной аддитивности меры, найдётся множество конечной положительной меры, на котором $%g(x)-f(x) > 1/n$% при каком-то натуральном $%n$%, откуда следует строгое неравенство для интегралов.

Поскольку пространство является счётным объединением подпространств, то получается, что оно само имеет меру 0, что невозможно.

См. также здесь о сигма-конечных мерах.

ссылка

отвечен 13 Янв '14 21:56

У меня Е - подмножество числовой прямой, поэтому всё получается. Спасибо.

(13 Янв '14 22:09) MathTrbl
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×780
×73

задан
8 Янв '14 11:26

показан
805 раз

обновлен
13 Янв '14 22:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru