|
Пусть $%f(x)$% и $%g(x)$% суммируемы по Лебегу на множестве $%E$% бесконечной меры, причём $%f(x)< g(x)$%. Я знаю, что $$\int\limits_Ef(x)dx \leq \int\limits_Eg(x)dx$$. Но я не совсем понимаю, какие условия необходимо потребовать от функции, чтобы сохранилось строгое неравенство? задан 8 Янв '14 11:26 
MathTrbl |
|
Судя по всему, условия здесь нужно наложить не на функцию, а на пространство с мерой. Достаточным будет такое условие: пространство является счётным объединением пространств конечной меры. Ограничение довольно естественное, и ему удовлетворяют пространства типа $%{\mathbb R}^n$% и т.п. Доказательство достаточности таково: на любом подмножестве конечной меры множество точек, в которых $%f(x) < g(x)$%, должно иметь меру ноль. В противном случае, по причине счётной аддитивности меры, найдётся множество конечной положительной меры, на котором $%g(x)-f(x) > 1/n$% при каком-то натуральном $%n$%, откуда следует строгое неравенство для интегралов. Поскольку пространство является счётным объединением подпространств, то получается, что оно само имеет меру 0, что невозможно. См. также здесь о сигма-конечных мерах. отвечен 13 Янв '14 21:56 
falcao У меня Е - подмножество числовой прямой, поэтому всё получается. Спасибо.
(13 Янв '14 22:09)
MathTrbl
|