Последовательность u0,u1,u2 удовлетворяет следующим соотношениям u(n+2)=2u(n+1)+u(n), если n – четное, и u(n+2)=u(n+1)-3u(n), если n – нечетное. Известно, что u0=1,u1=2. Найдите u2013. В ответе укажите наибольшую степень, в которой 3 делит u2013.

задан 8 Янв '14 12:31

изменен 8 Янв '14 19:18

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
1

Один из способов здесь такой: ввести две последовательности $%a_n=u_{2n}$% и $%b_n=u_{2n+1}$% ($%n\ge0$%) и выписать связывающие их соотношения. Из них будет видно, что у каждой из этих последовательностей, увеличению номера $%n$% на $%2$% соответствует умножение члена последовательности на $%3$%. Исходя из этого, можно заключить, что $%u_{2013}=b_{1006}=b_03^{503}=2\cdot3^{503}$%.

Можно поступить по-другому, выписав несколько начальных членов последовательности $%u_n$%, после чего станет ясна закономерность. Она такова: $%u_{4k}=3^k$%, $%u_{4k+1}=2\cdot3^k$%, $%u_{4k+2}=5\cdot3^k$%, $%u_{4k+3}=-3^k$% при всех целых неотрицательных $%k$%. Эту гипотезу далее доказываем прямой подстановкой указанных значений в рекуррентные соотношения и убеждаемся, что они выполняются.

ссылка

отвечен 8 Янв '14 13:00

А вы уверены что именно 503-я степень? Ибо я решал вторым способом и у меня получилось 2 умножить на 3 в 502-ой степени

(8 Янв '14 13:02) Leva319

@Leva319: давайте проверим. Ясно, что $%u_{n+4}=3u_n$% для всех $%n$%. При этом $%2013=1+4\cdot503$%. Отсюда следует, что $%u_{2013}=u_1\cdot3^{503}$%, где $%u_1=2$%.

(8 Янв '14 13:09) falcao

В своем решении, я для начала нашел u(2011)=-3^(501), а дальше умножаем это на 2 и на 3(ну и естественно убираем минус).

(8 Янв '14 13:13) Leva319

ааа, все понял, я ошибся просто, Вы правы

(8 Янв '14 13:14) Leva319
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×234

задан
8 Янв '14 12:31

показан
829 раз

обновлен
8 Янв '14 13:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru