В треугольнике АВС точка К — середина стороны ВС, а точка L – середина медианы АК. Центр описанной окружности треугольника KCL лежит на стороне АС и окружность пересекает эту сторону в точке М так, что АС:АМ=3:1. Найти отношение АВ:ВС:АС

задан 8 Янв '14 15:03

изменен 9 Янв '14 1:14

10|600 символов нужно символов осталось
1

Обозначим центр окружности через $%O$%. Из условия следует, что $%AM=MO=OC=OK=OL=r$% (радиус окружности). Обозначим $%x=AL=LK$%. По свойству секущих, $%AM\cdot AC=AL\cdot AK$%, то есть $%3r^2=2x^2$%. Это даёт соотношение между $%r$% и $%x$%. Теперь можно заметить, что $%LM=r/2$% как средняя линия треугольника $%AKO$%. Из подобия треугольников $%ALM$% и $%ACK$% (свойство секущих как раз на этом и основано) можно увидеть, что $%CK:AK=LM:AM=1:2$%, откуда $%CK=x$%. Значит, $%BC=2x$%.

Осталось найти $%AB$%. Это можно сделать, зная две стороны и медиану. Можно поступить иначе: угол $%MKC$% прямой, так как он опирается на диаметр, и если мы опустим высоту $%AH$% на сторону $%BC$%, то из соображений подобия окажется, что $%CK:CH=CM:CA=2:3$%. Это значит, что $%KH=x/2$%, то есть равно половине $%KB=x$%. Следовательно, $%KH$% -- не только высота треугольника $%AKB$%, но ещё и его медиана, а потому $%AB=AK=2x$%.

Треугольник $%ABC$% оказался равнобедренным; в нём $%AB=BC$%. Отношение $%BC:AC$% равно $%(2x):(3r)=\sqrt6:3$%.

Можно ещё заметить, что в равнобедренном треугольнике $%ABC$% медиана, проведенная к боковой стороне, равна длине этой стороны. Такое свойство однозначно определяет отношение сторон.

ссылка

отвечен 9 Янв '14 15:02

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,699

задан
8 Янв '14 15:03

показан
1309 раз

обновлен
9 Янв '14 15:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru