Правильно ли получилось решить лимит?:

$$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \sqrt[4]{1+x^2} - (1+x) }{ \arcsin^2( \sqrt{x+1} - 1 ) } = \left\{ \frac{0}{0} \right\} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{x^2}{4} - x }{ \arcsin^2( \frac{x}{2} ) } = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ \frac{x^2-4x}{4} }{ \frac{x^2}{4} } = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{ x^2-4x }{ x^2 } =\\ \lim_{x \rightarrow 0} \left(1-\frac{4}{x}\right)= -\infty $$

задан 8 Янв '14 18:48

изменен 8 Янв '14 21:18

Да, всё верно, только надо опечатку исправить (два минуса подряд в одном из выражений).

(8 Янв '14 21:04) falcao

@falcao, действительно, не заметил опечатку, случайно 2 минуса поставил, спасибо. (исправил)

(8 Янв '14 21:19) kiecstor
10|600 символов нужно символов осталось
1

Вы допустили ошибку лишь в последнем месте.

Вы получили, что ваше выражение эквивалентно $%1-\frac{4}{x}$%. Но $%\lim\limits_{x\to0} (1-\frac{4}{x})=\infty$%, а не $%-\infty$%, как вы написали.

Действительно, если $%x\to0-0$% (т. е. слева), то "подпредельное" выражение остаётся положительным, а справа отрицательным, т. е. выполнено следующее условие:

$$\forall M>0 ~\exists\delta=\delta(M): ~\forall x:|x|<\delta ~ |f(x)|>M$$

В то время, как для $%-\infty$% должно быть справедливо:

$$\forall M>0 ~\exists\delta=\delta(M): ~\forall x:|x|<\delta ~ f(x)<-M$$

ссылка

отвечен 8 Янв '14 21:08

@MathTrbl: да, конечно -- там именно $%\infty$%, так как $%x$% здесь может быть и положительным, и отрицательным. Я эту вещь просмотрел.

(8 Янв '14 21:17) falcao

Почему-то посчитал, что $%1-\infty=-\infty$%, а ведь точно, $%x$% может стремиться к нулю как справа, так и слева. Спасибо.

(8 Янв '14 21:22) kiecstor
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,420
×587

задан
8 Янв '14 18:48

показан
466 раз

обновлен
8 Янв '14 21:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru