Сколько существует пар натуральных чисел (а; b), для которых число 5а-3 кратно b, а число 5b-1 кратно а? Я пытался решить простым перебором, но очень сложно и зыбко, у меня получилось 6 пар натуральных чисел (а,b). Просто больше ни одной здравой идеи нет. Может кто-нибудь что-нибудь посоветует. Заранее благодарен.

задан 8 Янв '14 23:43

изменен 9 Янв '14 1:58

(1,1),(1,2),(2,1),(2,7),(3,2),(4,1),(4,17),(8,37),....,(19,23),(21,17),(23,14),(27,11),...

(9 Янв '14 2:15) Urt

Должно быть конечное число пар. Ответ 6 пар неверен.

(9 Янв '14 2:17) serg55

С задачей ознакомился только что. Идеи решения пока нет. А откуда убежденность в конечности множества решений?

(9 Янв '14 2:23) Urt

Убежденность в конечности множества решений на мой взгляд следует из вопроса задачи: количество пар указанных чисел ввести в предложенное поле.

(9 Янв '14 2:29) serg55

Действительно, конечность множества решений можно установить из условия: 5a-3=bx, 5b-1=ay, xy<25. Далее рассмотреть случаи для всевозможныx x,y.

(9 Янв '14 2:51) Urt

@Urt: конечность там можно доказать из общих соображений. Я пока "ручного" решения не знаю (прямой перебор возможен, но он получается длинный), а компьютерное вычисление показывает, что пар имеется 18. Задача интересная, и надо будет завтра ещё над ней подумать.

(9 Янв '14 2:52) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
3

Получилось всё-таки подсчитать количество пар при помощи не слишком длинного перебора.

Полагая $%5a-3=bx$%, $%5b-1=ay$% в тех обозначениях, которые предложил @Urt, решаем систему относительно $%a$% и $%b$%. Получается $$a=\frac{x+15}{25-xy};\qquad b=\frac{3y+5}{25-xy}.$$ Таким образом, достаточно перебрать пары натуральных чисел $%xy$%, произвдение которых принимает значения от $%1$% до $%24$% и отобрать те варианты, которые подходят. При этом перебор будет осуществляться по значениям $%xy$%, и многие случаи рассматривать оказывается не нужно. Так, можно не рассматривать случаев, когда $%25-xy$% кратно трём, так как при этом $%x$% и $%y$% должны делиться на $%3$%, но это невозможно. То же самое касается случая, когда $%xy$% кратно пяти: оба числа $%x$%, $%y$% будут при этом делиться на $%5$% при том, что $%xy$% меньше $%25$%. Также не надо рассматривать случаев, где $%xy\le7$%: при этом $%25-xy\ge18$%, откуда $%x\ge3$%, $%y\ge5$%, что приводит к противоречию.

1) $%xy=24$%; $%25-xy=1$%. Здесь знаменатель равен 1, и подходят любые числа, в произведении дающие 24. Это 8 пар. При желании, их легко выписать.

2) $%xy=23$%; $%25-xy=2$%. Здесь подходят нечётные $%x$% и $%y$%. Это ещё $%2$% случая.

3) $%xy=21$%; $%25-xy=4$%. Здесь $%x-1$% и $%y-1$% кратны 4. Таких случаев $%2$% (для чисел 1 и 21 в тот или другом порядке).

4) $%xy=18$%; $%25-xy=7$%. Здесь $%x+1$% и $%y-3$% кратны 7. Подходит $%1$% вариант ($%x=6$%, $%y=3$%).

5) $%xy=17$%; $%25-xy=8$%. Здесь оба варианта годятся, что даёт ещё $%2$% решения.

6) $%xy=14$%; $%25-xy=11$%. Здесь $%x+4$% кратно $%11$%. Значение $%x=7$% приносит ещё $%1$% пару.

7) $%xy=12$%; $%25-xy=13$%. Здесь ничего не подходит.

8) $%xy=11$%; $%25-xy=14$%. Здесь также нет решений.

9) $%xy=9$%; $%25-xy=16$%. Здесь подходит только $%x=1$%, так как $%x-1$% кратно 16. Ещё $%1$% решение.

10) $%xy=8$%; $%25-xy=17$%. Здесь годится только $%x=2$%, и мы получили ещё $%1$% пару (здесь $%a=b=1$%).

Итого получилось $%18$% пар чисел $%(a;b)$%. Разным значениям $%x$%, $%y$% соответствуют разные пары, так как $%x$% и $%y$% однозначно определяются парой $%(a;b)$%.

ссылка

отвечен 9 Янв '14 12:06

изменен 9 Янв '14 12:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,766

задан
8 Янв '14 23:43

показан
1838 раз

обновлен
9 Янв '14 12:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru