Найти все значения параметра а при каждом из которых уравнение $$|1-ax|=1+(1-2a)x+ax^2$$ имеет только один корень.

задан 9 Янв '14 19:25

изменен 9 Янв '14 21:34

При довольно страшном графическом решении у меня получилось, что а=0 или 1

(9 Янв '14 22:45) epimkin

@epimkin: у меня аналитическим способом получилось то же самое.

(9 Янв '14 23:22) falcao

@epimkin а какие у вас графики, можете показать?

(9 Янв '14 23:48) Amalia

@epimkin так сможете показать графики?

(10 Янв '14 13:13) Amalia

Через часок буду у компьютера

(10 Янв '14 14:34) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно решить так: $$|1-ax|=1+(1-2a)x+ax \Leftrightarrow |ax-1|=1+(1-2a)x+ax $$. При $%a=0,$% уравнение имеет одно решение $%x=0,$% значит $% a=0$%, удовлетворяет.

Пусть $%a\ne 0,$% тогда обозначим $%ax-1=t \Rightarrow x=\frac{1+t}a,$% получим уравнение $$\frac1at^2+\frac{3-2a}at+\frac{2(1-a)}a=|t|$$Ясно что, число решений этого уравнения равен числу решений исходного уравнения.Так-что ищем те значения $%a$%,при которых последнее уравнение имеет единственное решение. При условии $%a\ne0,$% последнее уравнение равносильно следующей совокупностьи систем.$$ \left[ \begin{aligned}\begin{cases}t^2+3(1-a)t+2-a=0\\ t\ge0 \end{cases}\\\begin{cases}t^2+(3-a)t+(2-a)=0\\ t<0 \end{cases}\end{aligned}\right.$$ Сразу обратим внимание на то, что уравнение второй системы имеет $%2$% решений $%t_1=-1, t_2=a-2.$% И ясно, что при $%а<2$% вторая система имеет $%2$% решений,а совокупность- более двух решений. Исключене составляет $%a=1,$% при $%a=1$% уравнение второй системы имеет одно решение $%t_1=t_2=-1$%, тогда вторая система имеет одно решение, а первая не имеет решений (в этом легко убедится подставив значение $%a=1$%).

При $%a=2,$% вторая система имеет только одно решение, а первая система тоже имеет решений-один из них $%t=0.$% При $%a>2,$% вторая система имеет только одно решение, а первая система тоже имеет решений,потому что дискриминант первого уравнения , при $%a>2$% положительный, a произведение корней равно $%2-a<0$% (теорема Виета), значит корни имеют разные знаки и один из них решение первой системы.Значит общее число решений при $%a\ge 2$% больше $%1.$%

И так удовлетворяют только $%a=0,a=1.$%

ссылка

отвечен 9 Янв '14 23:58

изменен 12 Янв '14 2:31

10|600 символов нужно символов осталось
2

Очевидно, что $%x=0$% будет решением при любом $%a$%, поэтому надо установить, при каких $%a$% других корней нет.

Рассмотрим два случая, когда имеется ещё по крайней мере один корень $%x\ne0$%. При этом либо $%ax\ge1$%, либо $%ax < 1$%.

1) $%ax\ge1$%. Уравнение принимает вид $%a(x^2-3x)+x+2=0$%. Ясно, что при этом $%x$% не равно ни нулю, ни трём. Отсюда $%a=-\frac{x+2}{x^2-3x}$%. Неравенство $%ax\ge1$% принимает вид $%-\frac{x+2}{x-3}\ge1$%, то есть $%\frac{2x-1}{x-3}\le0$%. Множеством его решений будет промежуток $%[1/2;3)$%. Функция $%f(x)=-\frac{x+2}{x(x-3)}$% на этом промежутке непрерывна. При $%x\to3$% слева $%f(x)$% стремится к $%+\infty$%. Можно найти производную и полностью исследовать, каково будет множество значений этой функции. Но нам будет достаточно заметить, что $%f(1/2)=2$%, поэтому все значения от $%2$% до $%+\infty$% функция принимает. Отсюда следует, что при $%a\ge2$% можно подобрать $%x\in[1/2;3)$% такое, что $%a=f(x)$% и $%ax\ge1$%. При этом $%x\ne1$%, и оно удовлетворяет исходному уравнение. Значит, такие $%a$% не войдут в ответ.

2) $%ax < 1$%, $%x\ne0$%. Здесь уравнение имеет вид $%a(x^2-x)+x=0$%, причём ясно, что $%x\ne1$%. Следовательно, $%a=-\frac1{x-1}$%. Неравенство $%ax < 1$% принимает вид $%-\frac{x}{x-1} < 1$%, то есть $%\frac{2x-1}{x-1} > 0$%. Это значит, что $%x\in(-\infty)\cup(1;+\infty)$% с дополнительной оговоркой, что $%x\ne0$%. Тогда функция $%g(x)=-\frac1{x-1}$% при $%x > 1$% принимает все отрицательные значения, а при $%x\le1/2$% имеет место неравенство $%1-x\ge1/2$%, поэтому $%g(x)=\frac1{1-x}$% принимает все значения из $%(0;2]$% кроме числа $%1$%. Из этого мы делаем вывод, что отрицательные значения не входят в ответ, а среди положительных чисел кроме $%a=0$% и $%a=1$% также ничего не входит с учётом предыдущего пункта.

При $%a=0$% исходное уравнение принимает вид $%x=0$%, то есть имеет ровно одно решение. Случай $%a=1$% также подходит, что видно из анализа двух случаев. Значение $%a=1$% не принимает ни функция $%f(x)$% из пункта 1 (в противном случае мы имели бы $%x^2-2x+2=0$%), ни $%g(x)$% из пункта 2 (при $%x\ne0$%). В итоге получили, что $%a=0$% или $%a=1$%.

ссылка

отвечен 9 Янв '14 23:21

10|600 символов нужно символов осталось
1
ссылка

отвечен 10 Янв '14 15:23

Спасибо большое

(10 Янв '14 15:31) Amalia

"Авторское" решение из книжки выглядит ужасно сложным. Там всё можно сделать из более простых соображений.

(10 Янв '14 15:41) falcao

Да я его и не читал, читал Ваше

(10 Янв '14 15:47) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×517

задан
9 Янв '14 19:25

показан
1848 раз

обновлен
12 Янв '14 2:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru