Найдите все значения a, для которых выражения a+√15 и 1/a−√15 принимают целые значения. Укажите в ответе произведение полученных значений.

задан 10 Янв '14 0:26

Обозначьте $%a+\sqrt{15}$% через $%k$%, подставьте $%a=k-\sqrt{15}$% во второе выражение и преобразуйте. После этого станет ясно, какие $%a$% подходят.

(10 Янв '14 1:02) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

$%\begin {cases} a+\sqrt{15}\in Z\\ \frac1a-\sqrt{15}\in Z \end{cases} \Rightarrow \begin {cases}(a+\sqrt{15})-(\frac1a-\sqrt{15})\in Z\\(a+\sqrt{15})(\frac1a-\sqrt{15})\in Z \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} a-\frac1a+2\sqrt {15}\in Z\\-14-\sqrt{15}(a-\frac1a)\in Z \end{cases} .$%

Из второго уравнениа следует, что $%\sqrt{15}(a-\frac1a)\in Z.$%

Пусть $%\sqrt{15}(a-\frac1a)=k, ( k\in Z)\Rightarrow a-\frac1a=\frac k{\sqrt{15}}.$%

Тогда из первого следует, что $%\frac k{\sqrt{15}}+2\sqrt{15}=\frac{k+30}{\sqrt{15}}\in Z \Rightarrow k=-30 \Rightarrow a-\frac1a=-2\sqrt{15} \Rightarrow a^2+2\sqrt{15}a-1=0 \Leftrightarrow $%

$%a=-\sqrt{15}\pm4.$%

Проверка показывает, чти эти значения удовлетворяют,a произведение этих значений $%-1.$%.

ссылка

отвечен 10 Янв '14 1:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,154

задан
10 Янв '14 0:26

показан
921 раз

обновлен
10 Янв '14 1:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru