Найти все значения р, при которых существует единственное число х, удовлетворяющее одновременно следующим условиям: $% sin\pi x=0;\ (2x+14p^2-7)(4x-4p^2-15) \leq 0$%

задан 10 Янв '14 13:43

изменен 10 Янв '14 16:13

10|600 символов нужно символов осталось
2

Первое условие означает, что $%x$% целое. Неравенство равносильно такому: $%(x-p_1)(x-p_2)\le0$%, где $%p_1=-7p^2+7/2$% и $%p_2=p^2+15/4$%. Очевидно, что $%p_2-p_1=8p^2+1/4 > 0$%, откуда $%x\in[p_1;p_2]$%. Этому отрезку принадлежит ровно одно целое число, поэтому длина отрезка меньше двух, в качестве необходимого условия. Следовательно, $%8p^2+1/4 < 2$% и $%p^2 < 7/32 < 1/4$%. Отсюда следует, что $%p_2 < 4$%. Однако $%p_2 \ge15/4 > 3$%. Следовательно, единственным подходящим целым числом, принадлежащим отрезку, может быть лишь $%x=3$%. Для этого необходимо и достаточно, чтобы было $%2 < p_1\le3$%. А это в точности означает, что $%1/14\le p^2 < 3/14$%. Отсюда легко выписывается ответ (объединение двух симметричных полуинтервалов).

ссылка

отвечен 10 Янв '14 19:14

Я не совсем поняла то что следует после х=3, можете чуть по подробнее написать?

(10 Янв '14 19:37) Amalia

Тут был вопрос про 7/32. На всякий случай, отвечу и на него. Мы решаем неравенство $%8p^2+1/4 < 2$% обычным способом. Переносим 1/4 с минусом в правую часть, делим на 8. Это даёт $%p^2 < 7/32$%. И далее мы попутно замечаем, что $%7/32$% меньше $%1/4$%. Нам потом это неравенство будет нужно.

По поводу $%x=3$%: мы к этому моменту знаем, что $%3 < p_2 < 4$%. Тогда в отрезке $%[p_1;p_2]$% либо нет целых чисел (если отрезок очень короткий), либо их много (если он очень длинный). Но если там ровно одно целое число, то это только 3, и больше ничего. (Представьте себе рисунок на числовой прямой.)

(10 Янв '14 20:02) falcao

А как ответ выписать? С первым вопросом я быстро разобралась, поэтому удалила.

(10 Янв '14 20:49) Amalia

@Amalia: Вы решаете достаточно сложные задачи, успешно разбираетесь с ними, поэтому мне даже как-то неудобно отвечать на столь элементарный вопрос. Это я про выписывание ответа. Ну вот, допустим, мы бы пришли к выводу, что $%9 < p^2\le25$%, то есть $%3 < |p|\le5$%. Понятно, что при этом $%p\in[-5;-3)\cup(3;5]$%. Отдельно для положительных, и симметрично для отрицательных. А ситуация с неравенством $%1/14\le p^2 < 3/14$% от этой принципиально не отличается.

(10 Янв '14 21:39) falcao

@falcao Я не понял, почему длина отрезка должна быть меньше 2, и почему p2>=15/4>3? Дайте пожайлуйста ответ

(5 Фев '14 19:42) Alemkhandro

Если отрезку принадлежит ровно одно целое число, то отрезок не может быть очень длинным, и его длина строго меньше двух. Доказывается это так: пусть $%k$% -- целое число из отрезка. При этом число $%k-1$% тоже целое, и оно уже отрезку не принадлежит. Значит, левый конец отрезка отстоит влево от $%k$% менее чем на 1. Аналогично, правый конец тоже отстоит от $%k$% меньше чем на 1 (в противном случае $%k+1$% попадает в отрезок). В сумме длина оказывается меньше, чем $%1+1=2$%.

Второй вопрос: неравенство $%p_2\ge15/4$% следует из того, что $%p_2=p^2+15/4$% (2-я строка), а $%p^2\ge0$%.

(5 Фев '14 20:12) falcao

@falcao Спасибо большое!))) Вы меня очень сильно выручили!)) Огромное Спасибо)

(5 Фев '14 20:15) Alemkhandro
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×516

задан
10 Янв '14 13:43

показан
821 раз

обновлен
5 Фев '14 20:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru