При каких значениях параметра $%a$% функция

$%f(x)=log_{2}((a+1)x^2-(a^2-2)x-(a-1)) $%

определена для всех $%x>0$%?

задан 10 Янв '14 14:00

10|600 символов нужно символов осталось
2

Нужно определить, при каких $%a$% неравенство $%(a+1)x^2−(a^2−2)x−(a−1) > 0$% справедливо для всех $%x > 0$%. Прежде всего, ясно, что $%a+1$% при этом не может быть отрицательным. Случай $%a=-1$% проверяется отдельно, и он подходит, так как получается функция $%x+2$%. Пусть $%a > -1$%. Рассмотрим значение функции в нуле. Оно равно $%-(a-1)$%, и понятно, что следует рассматривать только случай неотрицательного значения, то есть $%a\le1$%, так как в противном случае функция принимала бы отрицательные значения и в некоторых "близких" точках $%x > 0$%.

Итак, мы рассматриваем сейчас только те $%a$%, для которых $%-1 < a\le1$%. При этом $%|a|\le1$%, то есть $%a^2-2 < 0$%, и абсцисса вершины параболы, равная $%\frac{a^2-2}{a+1}$%, отрицательна. Поэтому функция возрастает на $%[0;+\infty)$%, и достаточно обратить внимание на значение в нуле. Мы уже отмечали, что $%1-a\ge0$%, откуда ясно, что при $%x > 0$% для рассматриваемых значений $%a$% мы получим только положительные значения.

В итоге получилось $%a\in[-1;1]$%.

ссылка

отвечен 10 Янв '14 14:33

10|600 символов нужно символов осталось
0

Данное значение $%x$% лежит в области определение тогда и только тогда, когда значение функции под логарифмом положительно. Разберем случаи $%a=-1,f(x)=\log_2(x+2)$% и данное значение подходит. $%a<-1$% не подходит, так как старший коэффициент квадратного трехчлена отрицателен и при достаточно большом $%x$% он отрицателен. $%a>-1$% так как старший коэффициент квадратного трехчлена положителен, он принимает положительные значения на этой полуоси, тогда и только тогда, когда $%0$% лежит не левее вершины параболы и значение трехчлена в $%0$% неотрицательно, то есть $%\begin{cases}a-1\leq 0\\\frac{a^2-2}{2a+2}\leq 0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}a\leq 1\\|a|\leq \sqrt2\end{cases}$% и искомые значения $%a:[-1;1]$%

ссылка

отвечен 10 Янв '14 14:39

@Ivan86: в конце мне непонятен использованный факт. Могло ведь оказаться так, что вершина параболы имеет положительную абсциссу (то есть 0 лежит левее вершины), но при этом дискриминант отрицателен.

(10 Янв '14 14:44) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

link text

Еще одно

ссылка

отвечен 10 Янв '14 15:53

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×516

задан
10 Янв '14 14:00

показан
1439 раз

обновлен
10 Янв '14 15:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru