Доказать, что уравнение $%sin(cos x) = cos(sin x)$% не имеет решений.

задан 10 Янв '14 14:18

10|600 символов нужно символов осталось
1

Поскольку в нуле получается $%\sin 1 < 1=\cos 0$%, необходимо и достаточно установить, что правая часть больше левой при всех $%x\in{\mathbb R}$%. Рассмотрим разность правой и левой части, применяя формулу приведения и формулу разности синусов: разность $%\cos(\sin x)-\sin(\cos x)$% равна $$\sin\left(\frac{\pi}2-\sin x\right)-\sin(\cos x)=2\sin\left(\frac{\pi}4-\frac12\sin x-\frac12\cos x\right)\cdot\cos\left(\frac{\pi}4-\frac12\sin x+\frac12\cos x\right).$$ Из тождества $$\cos x\pm\sin x=\sqrt2\cos\left(x\mp\frac{\pi}4\right)$$ следует, что сумма и разность косинуса и синуса принимает значения от $%-\sqrt2$% до $%\sqrt2$%. Поскольку $%\pi > 3 > 2\sqrt2$%, имеет место неравенство $%\frac{\pi}4 > \frac{\sqrt2}2$%, поэтому выражения и под косинусом, и под синусом принимают значения из интервала $%(0;\frac{\pi}2)$%, то есть они всегда положительны.

ссылка

отвечен 10 Янв '14 15:10

10|600 символов нужно символов осталось
1

$%\sin\cos x=\cos\sin x\Leftrightarrow \sin\cos x=\sin(\frac{\pi}{2}-\sin x)\Leftrightarrow \cos x=\frac{\pi}{2}+\sin x+\pi k,k\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow $%$%\cos x - \sin x=\sqrt2\cos(x+\frac{\pi}{4})=\frac{\pi}{2}+\pi k,k\in \mathbb{Z}$%. Левая часть этого равенства лежит на $%[-\sqrt2;\sqrt2]$% при всех $%x$%, а правая часть не меньше$%\frac{\pi}{2}$% или не больше $%-\frac{\pi}{2}$%. Так как $%\sqrt2<\frac{3}{2}<\frac{\pi}{2}$%, уравнение не имеет решений.

ссылка

отвечен 10 Янв '14 15:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×464
×216

задан
10 Янв '14 14:18

показан
445 раз

обновлен
10 Янв '14 15:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru