доказательство - Доказать неравенство

В первом случае можно доказать более сильное неравенство $%ab+bc+ca\ge3abc$%. Если $%abc=0$%, то доказывать нечего. Пусть $%abc > 0$%. Используя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом, получаем $%ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3\frac{abc}{\sqrt[3]{abc}}$%. Легко видеть, что $%abc\le1$%: в противном случае оказалось бы, что $%a^2+b^2+c^2=4-abc < 3 < 3\sqrt[3]{abc}$%, что противоречило бы неравенству о среднем. Тем самым, $%ab+bc+ca\ge3abc$%.

Докажем второе неравенство. Среди чисел $%a-1$%, $%b-1$%, $%c-1$% есть либо два неотрицательных, либо два неположительных. Без ограничения общности, пусть это будут $%a-1$% и $%b-1$%. Тогда $%(a-1)(b-1)\ge0$%, то есть $%a+b-ab\le1$%. Отсюда следует, что $%ab+bc+ca-abc=ab+c(a+b-ab)\le ab+c$%. Но из условия $%4=a^2+b^2+c^2+abc$% следует, что $%4\ge2ab+c^2+abc$%, то есть $%4-c^2\ge ab(2+c)$%. Сокращая на положительное число $%2+c$%, имеем $%2-c\ge ab$%. Таким образом, $%ab+bc+ca-abc\le ab+c\le2$%.