стереометрия - Правильный тетраэдр

Два равных правильных тетраэдра имеют общую высоту и параллельные основания. В начальном положении основания расположены так, что их ортогональные проекции на одно из этих оснований, образуют «звезду Давида». Найти зависимость объема общей части тетраэдров от угла поворота одного из них вокруг общей высоты.

alt text

стереометрия

задан 18 Мар '12 14:00

Anatoliy
12.9k●9●49
85% принятых

изменен 29 Мар '12 13:22

"Общая высота" - т.е. один и тот же отрезок является высотой? Или высоты лежат на одной прямой? А каковы размеры тетраэдров? одинаковые или нет? Если нет, то "звезда Давида", видимо, неправильная.

(18 Мар '12 17:41) DocentI

Один и тот же отрезок является высотой. Тетраэдры равны. Я уточнил условие.

(18 Мар '12 18:35) Anatoliy

А почему тогда "параллельные основания"? Они и так параллельные, если высота общая. Вы имеете в виду, что второй тетраэдр "перевернут" относительно первого?

(18 Мар '12 18:40) DocentI

Да, он перевернут.

(18 Мар '12 21:25) Anatoliy

Задание очень сложное. У Вас есть какое-нибудь продвижение в решении (чтобы не изобретать велосипед)? Я пробую координатный метод (в косоугольных координатах). Пока нашла объем только в начальном положении (там получается параллелепипед). Может, надо использовать матрица преобразования (поворота)?

(19 Мар '12 13:05) DocentI

Есть решение этой задачи.

(19 Мар '12 18:26) Anatoliy

Понятно. Будем искать!

(19 Мар '12 19:32) DocentI

Анатолий, очень было бы интересно посмотреть на Ваше решение

(8 Апр '12 1:43) chipnddail

показано 5 из 8 показать еще 3

2 ответа

старые новые ценные

Я решаю эту задачу в основном по дороге с работы, так что продвижения слабые (работаю близко от дома )) ). Пока заметила следующее:

Объем пересечения пропорционален площади его поверхности (т.к. расстояние от общего центра до любой из граней тетраэдров одинаково).
В начальном состоянии он равен 2/9 от V тетраэдра, а в "конечном" (т.е. при повороте на 60о) - 1/4 V. По крайней мере, функция не постоянна.
Соединяя вершины тетраэдров с вершинами ломаной, по которой пересекаются их границы, получим две цепочки из 6 треугольников 2 размеров. Общими основаниями соединены треугольники одного типа.
Если это верно, значит, боковые стороны этих треугольников равны, отличаются только их углы. Пусть стороны равны a, b, углы $%30^o-\alpha$% и $%30^o+\alpha$%, тогда сумма площадей 12 треугольников равна $%3 ab(\sin(30^o-\alpha) + \sin(30^o+\alpha)) = 3ab\cos\alpha$%. Угол $%\alpha$% можно выразить через $%\varphi$% (угол поворота. Осталось найти a и b.
Хорошо бы выяснить тип функции $%V(\varphi)$%. Например, если она линейна - двух крайних значений достаточно. Но здесь пока идей нет.

Наконец дорешала задачу. Ответ получился немного другой, чем у Вас. Похоже, Вы взяли другой угол, отсчитываемый не от "начала", а от конца. Мой ответ $%V_0\frac{2\cos\varphi}{(2\cos\varphi +1)^2}$%. Эта формула согласуется с найденными "крайними" значениями.
Решала с помощью векторной алгебры, выбрав в качестве начала координат середину высоты. Решение не очень длинное, но чисто счетное. Может, у Вас оно более концептуальное? Тогда хотелось бы на него посмотреть!
Вот векторное решение. alt text

ссылка

отвечен 20 Мар '12 23:45

DocentI
10.0k●4●22●52

изменен 6 Апр '12 16:16

Я думаю, что у Вас получится.

(21 Мар '12 12:20) Anatoliy

Пока не пишите решение, буду еще думать. Пока готовим олимпиаду для школьников, некогда!

(29 Мар '12 14:16) DocentI

При каких фи получаются крайние значения? Я решал эту задачу средствами элементарной математики.

(5 Апр '12 19:14) Anatoliy

Исправила коэффициент. При $%\varphi =60^o$% получаем Vo/4. Это значение соответствует пересечению в виде 2 пирамид (т.е. когда ребра тетраэдров пересекаются).

(5 Апр '12 19:31) DocentI

В общем, ход решения понятен.

Проведем сечение на расстоянии $%z$% от нижнего основания. Получатся 2 равносторонних треугольника с общим центром и со сторонами $%a, b$%, повернутые относительно друг друга на угол $%\varphi$%. Линейные функции $%a(z)$% и $%b(z)$% легко находятся. Задача свелась к нахождению площади общей части двух треугольников $%S(a,b,\varphi)$%. Эта задача несложная, но громоздкая. Нужно рассмотреть два случая - когда меньший треугольник полностью попадает в больший и когда не полностью.

После этого остается взять интеграл от $%S(a(z),b(z),\varphi)dz$%, разбив его на 2 - до $%z_0(\varphi)$% и после $%z_0(\varphi)$%, где $%z_0(\varphi)$% - значение $%z$%, при котором вершины меньшего треугольника попадают на стороны большего.

К сожалению, у меня нет времени, чтобы все это проделать.

ссылка

отвечен 29 Мар '12 16:42