Логарифмическое уравнение с параметром

Предположим, что для данного $%a$% имеется решение $%x$%. Тогда $%x^2-1=x+a$%, и при этом $%|x| > 1$%, $%|x|\ne\sqrt2$%.

Здесь удобно выделить полный квадрат и записать уравнение в виде $%(x-1/2)^2-5/4=a$%, следя за тем, какие значения принимает функция $%f(x)=(x-1/2)^2-5/4$% на тех или иных множествах. То же самое можно делать по графику квадратного трёхчлена.

Прежде всего, при $%x > 1$% получается $%x-1/2 > 1/2$%, $%(x-1/2)^2 > 1/4$%, $%f(x) > -1$%. Это значит, что на множестве $%x > 1$% функция $%f(x)$% принимает все значения, большие $%-1$%. Но у нас есть ещё условие $%x\ne\sqrt2$%, поэтому значение $%f(\sqrt2)=1-\sqrt2$% на этом промежутке наша функция не принимает, и получается множество значений $%(-1;1-\sqrt2)\cup(1-\sqrt2;+\infty)$%. При каждом $%a$% из этого множества уравнение из условия имеет решение $%x$%, где $%x > 1$% и $%x\ne\sqrt2$%.

Теперь посмотрим, что происходит при $%x < -1$%. Здесь $%x-1/2 < -3/2$%, то есть $%1/2-x > 3/2$%, то есть $%(x-1/2)^2=(1/2-x)^2 > 9/4$%, и потому $%f(x) > 1$%. Отдельно рассматриваем случай $%f(-\sqrt2)=1+\sqrt2$%. На этом промежутке множество значений функции оказалось равно $%(1;1+\sqrt2)\cup(1+\sqrt2;+\infty)$%. При каждом $%a$% из этого множества уравнение из условия имеет решение $%x$%, где $%x < -1$% и $%x\ne-\sqrt2$%.

Заметим, что все значения, полученные во втором случае, являются частью значений, полученных в первом случае. Следовательно, в первом случае мы описали множество всех $%a$%, для которых исходное уравнение имеет хотя бы одно решение. Для ответа теперь надо взять дополнение этого множества, и получится $%a\in(-\infty;-1]\cup\{1-\sqrt2\}$%.