Сам предел выражения:

$$\lim\limits_{n\to+\infty}\mathop{\max}\limits_{x\in(0,\frac{\pi}{2})}\left(\sqrt{n}\sin{x}\cos^n{x}\right)$$

Значение предела равно $%\frac{1}{\sqrt{e}}$%.

задан 24 Ноя '11 16:38

изменен 11 Дек '11 20:35

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

замена u=cos x, с помощью производной ищем максимум, а дальше сводится к стандартному пределу для e.

ссылка

отвечен 24 Ноя '11 18:04

10|600 символов нужно символов осталось
2

Неточный вопрос. Максимум отсутствует на интервале для x. Следует говорить о супремуме функции на интервале. Однако это тоже, что локальный максимум на отрезке (на концах отрезка принимает нулевые значения)Замена $$y=sinx$$ Получим $$ \lim_{n \rightarrow + \infty } max( \sqrt{n}y(1-y^2)^ \frac{n}{2} )$$. Примем $$n=2m$$/ Перепишем предел $$ \lim_{m \rightarrow + \infty } max( \sqrt{2m}y(1-y^2)^m )$$ Находим производную и критические точки $$y= \pm 1 ; y= \pm \frac{1}{\sqrt{1+2m}} $$. Не подходят первые y. Во втором случае максимум равен $$ \frac{2m}{ \sqrt{2m+1} } ( \frac{m}{m+0.5} )^m$$. Второй множитель в пределе дает действительно $$\frac{1}{ \sqrt{e} } $$ Но первый множитель в пределе дает бесконечность. Вывод. Предел равен бескончности. Заметим, что максимум можно не находить, а достаточно взять эту последовательность y и с их помощью оценить пределом снизу, который равен бескончности.

ссылка

отвечен 8 Янв '12 19:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×528

задан
24 Ноя '11 16:38

показан
2486 раз

обновлен
8 Янв '12 19:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru