Найти все значения, при которых система уравнений alt text

  • а) не имеет решений;
  • б) имеет конечное множество решений;
  • с) имеет бесконечное множество решений.

В случаях б), в) найти все решения. Ответить

задан 11 Янв '14 14:38

изменен 13 Янв '14 23:10

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Случай $%a=0$% рассматриваем отдельно. Из второго уравнения $%y=2^{-x}$%, где $%x$% любое действительное. Это даёт бесконечное множество решений (в первом уравнении получается 0=0).

Пусть $%a\ne0$%. Тогда можно поделить одно уравнение на другое. Окажется, что $%\frac{2^x(y+1)}{2^x+1}=a^2$%, откуда $%y$% однозначно выражается через $%x$% по формуле $%y=a^2(1+2^{-x})-1$%. Можно теперь учитывать только второе уравнение системы, так как значение частного уже учтено. Легко видеть, что $%1-y\cdot2^x=(1+2^x)(1-a^2)$%, откуда $%(1+2^x)^2(1-a^2)=a$%. Ясно, что $%a^2\ne1$%, и тогда имеет место равенство $%(1+2^x)^2=\frac{a}{1-a^2}$%. Левая часть принимает все значения, больше единицы, и по каждому такому значению однозначно находится $%1+2^x$% (оно положительно), и далее $%2^x$%, а также $%x$%. Через $%x$% однозначно выражается $%y$%, и получается одно решение системы.

Теперь надо выяснить, при каких $%a$% имеет место неравенство $%\frac{a}{1-a^2} > 1$%. Оно приводится к виду $%\frac{a^2+a-1}{(a+1)(a-1)} < 0$%, и метод интервалов даёт такое множество решений: $%a\in(-\frac{1+\sqrt5}2;-1)\cup(\frac{\sqrt5-1}2;1)$%. Это те $%a$%, которые имеют отношение к пункту б (при этом множество решений непустое). Здесь получается, что $%2^x+1=\sqrt{\frac{a}{1-a^2}}$%, и $%x$% находится логарифмированием. Число $%y$% выражается по формуле, указанной выше.

Бесконечным множество решений будет, как мы уже сказали, при $%a=0$% (пункт в), а во всех остальных случаях, которые здесь не упомянуты, система не имеет решений.

ссылка

отвечен 12 Янв '14 21:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×431
×273
×228
×96

задан
11 Янв '14 14:38

показан
1196 раз

обновлен
12 Янв '14 21:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru