При каких $%а$% для всех $%x$% принадлежащих $%[2;5/2]$% выполняется неравенство $%log_{|x-a|}(x^2+ax) \leq 2 \ ?$%

задан 11 Янв '14 20:41

изменен 11 Янв '14 23:37

10|600 символов нужно символов осталось
0

Прежде всего, ясно, что $%a\notin[2;5/2]$%: в противном случае при $%x=a$% неравенство не имеет смысла. Поэтому либо $%a < 2$%, либо $%a > 5/2$%. Далее, $%a$% не только не принадлежит рассматриваемому отрезку, но и не может быть расположено на расстоянии 1 ни от какой точки этого отрезка. Действительно, число $%|x-a|$% не должно быть равно 1 ни при каком $%x\in[2;5/2]$%, то есть $%a\ne x\pm1$% ни при каком $%x$% из этого отрезка. Вычитание 1 из $%x$% даёт отрезок $%[1;3/2]$%, и ему $%a$% не принадлежит, равно как и отрезку $%[3;7/2]$%, получаемому прибавлением 1. Рассмотрим теперь два случая.

1) $%a < 1$% или $%a > 7/2$%. Это значит, что $%a$% от всех точек отрезка отстоит на расстояние больше 1, то есть $%|x-a| > 1$% при всяком $%x\in[2;5/2]$%. Тогда логарифмическая функция возрастает, и неравенство можно записать в виде $%0 < x^2+ax \le |x-a|^2$%. Получается, что $%x(x+a) > 0$% (первое неравенство) и $%x^2+ax\le x^2-2ax+a^2$% (второе неравенство). Ясно, что $%x$% здесь всегда положительно, поэтому $%x+a > 0$%. Это неравенство должно быть верно для всех $%x\in[2;5/2]$%, что равносильно условию $%a > -2$%. Для второго из неравенств получается $%3ax\le a^2$%. При $%a=0$% это верно; при $%a > 0$% должно быть $%3x\le a$% для всех точек отрезка, то есть $%a\ge15/2$%; при $%a < 0$% получается $%3x\ge a$%, что всегда верно.

Итак, среди положительных $%a$% годятся $%a\ge15/2$%, отдельно подходит $%a=0$%, а среди отрицательных мы берём все $%a > -2$%. Первый случай даёт нам значения $%a\in(-2;0]\cup[15/2;+\infty)$%.

2) $%3/2 < a < 2$% или $%5/2 < a < 3$%. Здесь $%|x-a| < 1$% для всех $%x$% из отрезка, поэтому логарифмическая функция убывает, и неравенство принимает вид $%x^2+ax\ge(x-a)^2$%, что упрощается до $%3ax\ge a^2$%, и далее до $%3x\ge a$% ввиду положительности $%a$%. Наименьшее значение для $%3x$% равно $%6$%, и все рассматриваемые $%a$% не превосходят этого значения. Поэтому все $%a$% из этого случая нам подходят.

Окончательно имеем $%a\in(-2;0]\cup(3/2;2)\cup(5/2;3)\cup[15/2;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 12 Янв '14 0:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×517

задан
11 Янв '14 20:41

показан
930 раз

обновлен
12 Янв '14 0:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru