Найти все значения a, при которых система уравнений alt text. а) не имеет решений; б) имеет конечное множество решений; в) имеет бесконечное множество решений. В случаях б), в) найти все решения.

задан 11 Янв '14 21:47

10|600 символов нужно символов осталось
1

Мы хотим выразить $%y$% из первого уравнения, подставив его затем во второе. Пока что этого сделать нельзя, так как речь может идти о решении $%(x;y)$%, для которого $%x^2=1$%. Если это так, то очевидно, что $%a=0$%. Такой случай надо проанализировать отдельно.

Из второго уравнения получится, что либо $%y=0$%, и тогда $%x^2=1$% из первого уравнения, что даёт два решения $%(\pm1;0)$%, либо $%y=-\sqrt{1-x^2}$%, где $%x$% -- любое число из $%[-1;1]$%. При этом первое уравнение обращается в верное равенство. Два решения, найденные в начале, входят в указанную бесконечную серию решений. Таким образом, при $%a=0$% решений бесконечно много (пункт в), и они имеют вид $%(x;-\sqrt{1-x^2})$%, где $%x\in[0;1]$%.

Пусть $%a\ne0$%. Тогда, если система имеет решение $%(x;y)$%, то $%x^2\ne1$%, и из первого уравнения $%y=\frac{x^2+2a-1}{\sqrt{1-x^2}}$%. Подстановка во второе уравнение даёт $$\frac{(x^2+2a-1)^2}{1-x^2}+x^2+2a-1=2a-a^2,$$ что упрощается до $%2(x^2+2a-1)=(2-a)(1-x^2)$% с учётом $%a\ne0$%. Отсюда $%x^2(a-4)=5a-4$%. В частности, $%a\ne4$%, и $%x^2=\frac{5a-4}{a-4}$%. С учётом того, что $%0\le x^2 < 1$%, приходим к условию $%a\in(0;5/4]$%. Отсюда однозначно находится $%y=(2-a)\sqrt{\frac{a}{4-a}}$%, а для $%x$% имеем два значения $%x=\pm\sqrt{\frac{4-5a}{4-a}}$%, которые совпадают при $%a=4/5$%, обращаясь в ноль. Это соответствует случаю из пункта б).

При всех остальных $%a$%, то есть при $%a\in(-\infty;0)\cup(4/5;+\infty)$%, система решений не имеет (пункт а). Конечным (непустым) будет множество решений при $%a\in(0;4/5]$% (пункт б), и бесконечным при $%a=0$% (пункт в).

ссылка

отвечен 12 Янв '14 2:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×431

задан
11 Янв '14 21:47

показан
401 раз

обновлен
12 Янв '14 2:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru