$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{m=1}^n \frac{1}{n+mk}, k \in N $$

задан 19 Дек '11 8:18

перемечен 28 Дек '11 1:09

freopen's gravatar image


9589

10|600 символов нужно символов осталось
1

Вот еще одно решение:

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{m=1}^n \frac{1}{n+mk}=\frac{1}{k}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{k}{n}\sum_{m=1}^n \frac{1}{1+mk/n}=\cdots$$

Воспользуемся определением интеграла Римана интеграла Римана.

$$\cdots=\frac{1}{k}\int_1^{k+1}\frac{dx}{x}=\frac{1}{k}(\ln (k+1)-\ln 1)=\frac{\ln (k+1)}{k}$$

ссылка

отвечен 28 Дек '11 13:42

Ответ верный. Решение супер интересное!!Но как применили определение интеграла не понятно. Можно поподробнее...? Спасибо!

(28 Дек '11 15:15) Lili

Что значит, как? Как можно разными способами использовать определение? Интеграл из нижней строчки, как интеграл Римана есть предел суммы из верхней строчки. Мы разбиваем отрезок от 1 до k+1 на n равных частей длиной k/n каждая, части имеют вид $%[1+(m-1)k/n;1+mk/n]$%, в каждой части выбираем одну точку(самую правую), домножаем на длину отрезка и все складываем. Т.к. длина частей стремится к нулю равномерно, перед нами предел интегральной суммы.

(28 Дек '11 15:23) freopen

Спасибо! Как всегда, самое оптимальное решение!!!

(29 Дек '11 8:22) Lili
10|600 символов нужно символов осталось
0

Это пока не полный ответ, а так - идея: я ее довести до конца не могу, но может вы сможете. Если разделить числитель и знаменатель на n. $$ 1/n $$ вынести за сумму. А под знаком суммы останутся слагаемые $$ 1/(1+mk/n) $$ Их можно разложить в ряд Тейлора, затем сгруппировать по степеням k. Но дальше нужно находить суммы вида $$ 1^n+2^n+...+n^n $$ В показателе будет то же число, какое в степени k. Для первых трех сумм мне известны, а остальные надо находить по индукции. Это долго. Может, есть общая формула для таких сумм. Если да - то задача почти решена. Там будет знакочередующийся ряд по степеням k. Или, может, оценить сверху и снизу "милиционерами". Но пока прикинула только грубо: $$1/(1+k)<A<1$$ , где А - искомая сумма, а значит и искомый предел (только со знаками нестрогого неравенства).

ссылка

отвечен 27 Дек '11 22:34

Еще точнее 1/(1+k)<A<1/k

(28 Дек '11 11:11) Hedgehog
10|600 символов нужно символов осталось
0

Я попробовала сумму разложить так: 1/(n+k)+1/(n+2k)+...+1/(n+nk)= (1+1/2+1/3+...+1/(n+nk))-(1+1/2+1/3+...+1/(n+k-1))-[тут кол-во сумм от i= 1 до n-1 ((1+1/2+1/3+...+1/(n+ik-1))-(1+1/2+1/3+...+1/n+ik))]

суть в том,что взяла гармонический ряд от 1 до n+nk и выкидывала из него "ненужные" куски. В результате всего этого по формуле Эйлера получился ответ ln(k+1).А должен быть (ln(k+1))/k

ссылка

отвечен 28 Дек '11 9:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×534
×520

задан
19 Дек '11 8:18

показан
3441 раз

обновлен
29 Дек '11 8:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru