|
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{m=1}^n \frac{1}{n+mk}, k \in N $$ задан 19 Дек '11 8:18 
Lili |
|
Вот еще одно решение: $$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{m=1}^n \frac{1}{n+mk}=\frac{1}{k}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{k}{n}\sum_{m=1}^n \frac{1}{1+mk/n}=\cdots$$ Воспользуемся определением интеграла Римана интеграла Римана. $$\cdots=\frac{1}{k}\int_1^{k+1}\frac{dx}{x}=\frac{1}{k}(\ln (k+1)-\ln 1)=\frac{\ln (k+1)}{k}$$ отвечен 28 Дек '11 13:42 
freopen Ответ верный. Решение супер интересное!!Но как применили определение интеграла не понятно. Можно поподробнее...? Спасибо!
(28 Дек '11 15:15)
Lili
Что значит, как? Как можно разными способами использовать определение? Интеграл из нижней строчки, как интеграл Римана есть предел суммы из верхней строчки. Мы разбиваем отрезок от 1 до k+1 на n равных частей длиной k/n каждая, части имеют вид $%[1+(m-1)k/n;1+mk/n]$%, в каждой части выбираем одну точку(самую правую), домножаем на длину отрезка и все складываем. Т.к. длина частей стремится к нулю равномерно, перед нами предел интегральной суммы.
(28 Дек '11 15:23)
freopen
Спасибо! Как всегда, самое оптимальное решение!!!
(29 Дек '11 8:22)
Lili
|
|
Это пока не полный ответ, а так - идея: я ее довести до конца не могу, но может вы сможете. Если разделить числитель и знаменатель на n. $$ 1/n $$ вынести за сумму. А под знаком суммы останутся слагаемые $$ 1/(1+mk/n) $$ Их можно разложить в ряд Тейлора, затем сгруппировать по степеням k. Но дальше нужно находить суммы вида $$ 1^n+2^n+...+n^n $$ В показателе будет то же число, какое в степени k. Для первых трех сумм мне известны, а остальные надо находить по индукции. Это долго. Может, есть общая формула для таких сумм. Если да - то задача почти решена. Там будет знакочередующийся ряд по степеням k. Или, может, оценить сверху и снизу "милиционерами". Но пока прикинула только грубо: $$1/(1+k)<A<1$$ , где А - искомая сумма, а значит и искомый предел (только со знаками нестрогого неравенства). отвечен 27 Дек '11 22:34 
Hedgehog Еще точнее 1/(1+k)<A<1/k
(28 Дек '11 11:11)
Hedgehog
|
|
Я попробовала сумму разложить так: 1/(n+k)+1/(n+2k)+...+1/(n+nk)= (1+1/2+1/3+...+1/(n+nk))-(1+1/2+1/3+...+1/(n+k-1))-[тут кол-во сумм от i= 1 до n-1 ((1+1/2+1/3+...+1/(n+ik-1))-(1+1/2+1/3+...+1/n+ik))] суть в том,что взяла гармонический ряд от 1 до n+nk и выкидывала из него "ненужные" куски. В результате всего этого по формуле Эйлера получился ответ ln(k+1).А должен быть (ln(k+1))/k отвечен 28 Дек '11 9:07
Lili |