Найти все а, при которых отрезок $%[3;4]$% не имеет общих точек с множеством решений неравенства $%|x+a-|2a-(x/2)||<1 $%

задан 12 Янв '14 12:41

изменен 12 Янв '14 22:53

х/2 или (2а-х)/2

(12 Янв '14 16:52) epimkin

вот я поправила х/2

(12 Янв '14 16:55) Amalia

Я вроде получил ответ, но хочу его как следует проверить. Если до завтра никто не напишет решение, то я его помещу.

(13 Янв '14 2:30) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

$$|x+a-|2a-(x/2)||<1\Leftrightarrow -1< x+a-|2a-(x/2)|<1\Leftrightarrow$$$$x+a-1\Leftrightarrow|2a-(x/2)|< x+a+1\Leftrightarrow\begin{cases}2a-(x/2)< x+a+1,\\2a-(x/2)>-x-a-1 \\\left[ \begin{aligned}2a-(x/2)>x+a-1,\\2a-(x/2)<-x/6+1/3, \end{aligned} \right. \end{cases}\Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow\begin{cases}a< (3/2)x+1,\\a>-x/6-1/3, \\\left[ \begin{aligned}a>(3/2)x-1,\\a<-x/6+1/3. \end{aligned} \right. \end{cases}$$

alt text

Ответ: $%a\in(-\infty;-1]\cup[-1/6;7/2]\cup[7;+\infty).$%

ссылка

отвечен 14 Янв '14 16:21

изменен 14 Янв '14 19:21

10|600 символов нужно символов осталось
3

Imgur Imgur

У меня получилось так

ссылка

отвечен 13 Янв '14 13:41

изменен 13 Янв '14 23:00

Deleted's gravatar image


126

@epimkin: у меня другой ответ получился, хотя кое-какие граничные точки получились такие же.

(14 Янв '14 0:20) falcao

Так я ответ написал наоборот, когда имеют

(14 Янв '14 0:41) epimkin

Он у нас совпал

(14 Янв '14 0:43) epimkin

Точка нижняя верхнего параллелограмма имеет координату по а 3,5

(14 Янв '14 0:44) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим функцию $%f(x)=|\frac{x}2-2a|-x-a$%. Требуется найти все такие $%a$%, для которых $%|f(x)|\ge1$% при всех $%x\in[3;4]$%. Легко понять, что при этом либо $%f(x)\ge1$% для всех $%x\in[3;4]$%, либо $%f(x)\le-1$% для всех $%x\in[3;4]$%. "Смешанного" случая, когда для одних точек отрезка выполняется неравенство первого типа, а для других -- второго, возникнуть не может: функция у нас непрерывна, и она принимает все промежуточные значения. И в описанном случае она принимала бы значения строго между $%-1$% и $%1$%, что нас не устраивает.

Далее надо заметить, что графиком функции $%f(x)$% на $%[3;4]$% является либо отрезок прямой, либо объединение двух отрезков. Последнее имеет место, если точка "излома" графика, то есть $%x=4a$% (для которой выражение под знаком модуля обращается в ноль), принадлежит отрезку $%[3;4]$%. Неравенство $%f(x)\ge1$% для всех $%x\in[3;4]$% будет выполнено тогда и только тогда, когда оно справедливо для точек на концах отрезка (то есть при $%x=3$%, $%x=4$%), а также в точке "излома", если таковая принадлежит отрезку. Аналогичное заключение можно сделать по поводу неравенства $%f(x)\le-1$%.

Мы рассматриваем теперь два случая, и отбираем те $%a$%, которые подходят под один из них. В конце берём объединение двух отдельно полученных множеств.

1) $%f(x)\ge1$% для всех $%x\in[3;4]$%. Это значит, что $%|\frac{x}2-2a|\ge x+a+1$%. При $%x=3$% и $%x=4$% получается система из двух неравенств: $%|2a-\frac32|\ge a+4$% и $%|2a-2|\ge a+5$%. Для первого неравенства имеем $%a\in(-\infty;-\frac56]\cup[\frac{11}2;+\infty)$%, для второго $%a\in(-\infty;-1]\cup[7;+\infty)$%. В пересечении получается $%a\in(-\infty;-1]\cup[7;+\infty)$%. Точка "излома" $%x=4a$% принадлежит $%[3;4]$% при $%a\in[\frac34;1]$%, но в нашем случае этого не наблюдается, поэтому найденные условия необходимы и достаточны для выполнения рассматриваемого неравенства.

2) $%f(x)\le1-$% для всех $%x\in[3;4]$%. Это значит, что $%|\frac{x}2-2a|\le x+a-1$%. При $%x=3$% и $%x=4$% получается система из двух неравенств: $%|2a-\frac32|\le a+2$% и $%|2a-2|\le a+3$%. Это значит, что $%-\frac16\le a\le\frac72$% и $%-\frac13\le a\le5$%. В пересечении получается $%a\in[-\frac16;\frac72]$%. Теперь рассмотрим "точку излома" $%x=4a$%, где $%a\in[\frac34;1]$%. В данном случае она, будучи подставлена в анализируемое неравенство, приводит к условию $%0\le5a-1$%, что для всех точек из $%[\frac34;1]$% верно.

Окончательно имеем $%a\in(-\infty;-1]\cup[-\frac16;\frac72]\cup[7;+\infty)$%.

ссылка

отвечен 14 Янв '14 0:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×431

задан
12 Янв '14 12:41

показан
421 раз

обновлен
14 Янв '14 19:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru