Найти число двоек в разложении на множители числа 2011x2012x2013x…x4020

У меня получилось 2^2001. Правильно или нет? Заранее благодарен. С уважением.

задан 12 Янв '14 15:09

изменен 12 Янв '14 15:25

Не видны знаки умножения, а без этого задача совсем другая .

(12 Янв '14 15:30) ASailyan

Между цифрами стоят знаки умножения

(12 Янв '14 15:31) serg55

Извините, я ошибся в расчетах. Ответ 2^2010.

(12 Янв '14 19:55) serg55
1

Да, если $%2^{2010}$%, то это верно. Я могу изложить несколько общих соображений по поводу задач такого типа, если хотите.

Точнее, ответом будет само число 2010, так как речь не о произведении, а о количестве двоек. Но понятно, что именно это и имелось в виду.

(12 Янв '14 20:49) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Есть такой факт, который полезно применять при решении некоторых задач олимпиадного типа (наподобие "сколькими нулями оканчивается число $%100$% факториал?").

Пусть $%m$% -- натуральное число, и пусть $%p$% -- простое число. Выведем формулу для показателя степени, с которым $%p$% входит в каноническое разложение числа $%m!$%. Иными словами, выясним, на какую максимальную степень $%p$% делится $%m!$%.

Ясно, что среди чисел от $%1$% до $%m$% имеется ровно $%[m/p]$% таких, которые делятся на $%p$%. Каждое из них даёт вклад $%p$% в произведение. Но при этом могут быть числа, кратные $%p^2$%. Их в списке имеется ровно $%[m/p^2]$%. Один множитель $%p$% мы уже учли, поэтому учитываем второй. Так же точно для чисел, делящихся на $%p^3$%, получаем дополнительный вклад $%[m/p^3]$%, и так далее. Получается, что $%p$% входит в разложение числа $%m!$% в степени с показателем $$\left[\frac{m}{p}\right]+\left[\frac{m}{p^2}\right]+\left[\frac{m}{p^3}\right]+\cdots$$ вплоть до момента, когда слагаемые станут нулевыми.

Теперь применим эту формулу к ситуации из условия задачи, где $%m=2n$%, $%n=2010$%, $%p=2$%. То число, которое дано в условии, есть частное $%(2n)!/n!$%. Поэтому нас интересует разность показателей степеней двойки. Согласно выведенной формуле, эти показатели равны $%n+[n/2]+[n/4]+\cdots$% и $%[n/2]+[n/4]+\cdots$% соответственно, и их разность равна $%n$%.

ссылка

отвечен 12 Янв '14 21:47

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,768

задан
12 Янв '14 15:09

показан
1044 раза

обновлен
12 Янв '14 21:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru