в параллелограмме MNPQ диагональ MP равна 7, а диагональ NQ равна 5. На MP выбрана точка E таким образом, что вокруг четырехугольника NPQE можно описать окружность.
Найдите длину NK, где K - центр окружности, описанной около треугольника MEQ, и sin MQE=0.5.

задан 12 Янв '14 20:52

изменен 13 Янв '14 23:02

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть $%O$% -- центр параллелограмма. По свойству пересекающихся хорд, $%EO\cdot OP=QO\cdot ON$%, откуда $%EO=25/14$%, и $%ME=7/2-25/14=12/7$%.

Радиус окружности, описанной около $%MEQ$%, обозначим через $%r$%. По теореме синусов, $%ME=2r\sin\angle MQE$%, то есть $%r=KM=KE=KQ$% равен $%ME=12/7$%.

Докажем, что угол $%KQN$% прямой. Отсюда будет следовать, что $%NK=\sqrt{r^2+QN^2}=37/7$%.

Достаточно проверить, что $%MQN$% равен половине угла $%MKQ$%: тогда вместе с $%KQM$% получается 90 градусов. Но половина угла $%MKQ$% есть не что иное как величина вписанного угла, опирающегося на дугу $%MQ$% окружности, описанной около $%MEQ$% со стороны, противоположной точке $%E$%. Это значит, что рассматриваемый вписанный угол равен углу, смежному с $%MEQ$%, то есть $%QEP$%. Который, будучи вписан в другую окружность, равен $%QNP$%. Последний же, по свойству параллелограмма, равен $%MQN$%, что завершает доказательство.

ссылка

отвечен 13 Янв '14 2:15

@falcao, или так (практически то же самое - но, может, так немного "виднее"): угол $%NQE$% = углу $%NPE$% ( потому что опираются на одну дугу $%NE$%), и тогда они же = углу $%QME$%. А значит, $%NQ$% образовала с хордой $%QE$% угол, равный вписанному углу, опирающемуся на дугу $%QE$% - а такой угол образовывает касательная ( и прямая, образующая с данным отрезком заданный угол ( в определенной полуплоскости ) - единственная ), т.е. $%NQ$% - касательная ( перпендикулярная радиусу $%KQ$% )

(13 Янв '14 3:01) ЛисаА

..только я увидев касательную - пыталась использовать "квадрат отрезка касательной = произведению всей секущей на ее внешнюю часть" ( квадратное уравнение - вместо теоремы Пифагора.. ("приехали")) =((

И почему-то с Хэшкода за 2 дня не пришло ( на почту ) ни одного письма ( правда, меня все равно в сети не было - но все-таки..) В последних топиках и просмотров мало.. ("что-то не то" ?)
UPD ( немного наврала - не 2, а полтора дня молчит почта - вчера (11.01) я еще "высовывалась" в сеть днем - ненадолго, и уже после этого последним пришел вчерашний вопрос про "два квадрата" )

(13 Янв '14 3:03) ЛисаА

@ЛисаА: я понял Ваше рассуждение насчёт прямого угла -- в принципе, оно базируется примерно на тех же соображениях. Там самое трудное было -- осознать, что этот угол является прямым, а обосновать это уже "дело техники".

С извещениями на почту у меня ровно то же самое. Я привык тому, что всё ходит "косяками", а сейчас приходится вручную смотреть. Хочется надеяться на то, что наладят. В ЖЖ, где я уже много лет "активничаю", периодически происходит то же самое, но потом всё "задним числом" всё-таки приходит (иногда -- не в хронологическом порядке).

(13 Янв '14 3:57) falcao

@falcao, спасибо за объяснение!

(13 Янв '14 22:49) Uchenitsa
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,920
×730

задан
12 Янв '14 20:52

показан
1736 раз

обновлен
13 Янв '14 22:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru