тригонометрия - Ctg наименьшего положительного корня

Ясно, что $%x\in(0;\pi/2)$%, поэтому синус и косинус здесь положительны. Уравнение по этой причине можно возвести в квадрат, получая равносильное условие $%\sin^2x\cdot\cos^2x=1/6$%. Обозначая через $%y$% квадрат котангенса $%x$%, мы в силу тождества $%{\mathop{\rm ctg}}^2x+1=\frac1{\sin^2x}$% получим уравнение $%\frac1{y+1}\cdot\frac{y}{y+1}=1/6$%. Это значит, что $%y^2-4y+1=0$%, то есть $%y=2\pm\sqrt3$%. Поскольку котангенс -- функция убывающая на $%(0;\pi/2)$%, меньшим значениям $%x$% соответствуют большие значения $%y$%, то есть нас интересует $%y=2+\sqrt3$%. Осталось извлечь корень: $%{\mathop{\rm ctg\,}}x=\sqrt{2+\sqrt3}=\frac{\sqrt{4+2\sqrt3}}{\sqrt2}=\frac{1+\sqrt3}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2+\sqrt6}2$%.