|
Известно, что $$x_1, x_2, x_3$$ - различные корни уравнения $$х^3-x-1=0$$. Составьте уравнение наименьшей степени, корнями которого являются числа $$\frac{х+1}{х_1-1} ; \frac{х_2+1}{х_2-1}; \frac{х_3+1}{х_3-1}$$ задан 12 Янв '14 22:54 
parol |
|
Положим $%y=(x+1)/(x-1)$%, где $%x^3-x-1=0$% (ясно, что при этом $%x\ne1$%). Тогда $%x=(y+1)/(y-1)$%. Подставим это выражение в равенство $%x^3=x+1$%. После преобразований приходим к равенству $%y^3-7y^2-y-1=0$%, которое справедливо для любого $%y$% рассматриваемого вида. Это значит, что все три числа являются корнями данного уравнения. Третья степень будет наименьшей, так как все корни уравнения попарно различны. Последнее вытекает из того, что многочлен $%x^3-x-1$% не имеет кратных корней. отвечен 13 Янв '14 2:41 
falcao |