касательная - Уравнение той касательной, которая проходит через начало координат

Здесь достаточно того соображения, что угловой коэффициент касательной равен производной.

Прямая, проходящая через начало координат, имеет вид $%y=kx$% (случай вертикальной касательной здесь невозможен). Пусть она касается графика функции $%f(x)=\ln(ex)$% в точке с координатами $%(x_0;y_0)$%. Тогда, во-первых, $%y_0=kx_0$%, так как эта точка принадлежит касательной. Во-вторых, $%y_0=\ln(ex_0)$%, так как точка принадлежит графику функции. В-третьих, $%f'(x)=\frac{(ex)'}{ex}=\frac1{x}$%, и в точке $%x_0$% производная должна быть равна угловому коэффициенту касательной, то есть $%k$%. Это значит, что $%k=\frac1{x_0}$%.

Теперь из трёх составленных уравнений надо определить значения величин. Из третьего и первого ясно, что $%y_0=1$%. Тогда из второго условия $%\ln(ex_0)=y_0=1$%, то есть $%ex_0=e$% и $%x_0=1$%. Следовательно, $%k=1$%, и ответом будет прямая, заданная уравнением $%y=x$%.