|
Для натурального $%n$% обозначим: $%S_{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n}; \\ T_{n} = S_{1} + S_{2} + S_{3} + ... +S_{n}; \\ U_{n} = \frac{T_{1}}{2} + \frac{T_{2}}{3} + \frac{T_{3}}{4} + ... + \frac{T_{n}}{n+1}. $% Найдите такие натуральные числа $%a,b,c,d$%, не большие $%1 000 000$%, такие, что $% T_{1988} = aS_{1989}-b $% и $% U_{1988} = cS_{1989}-d$% задан 14 Янв '14 15:03 
student
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
Утверждение задачи вытекает из справедливости некоторых тождеств. Легко видеть, что $%T_n=1+(1+1/2)+(1+1/2+1/3)+\cdots+(1+1/2+1/3+\cdots+1/n)$%, что равно $%n/1+(n-1)/2+(n-2)/3+\cdots+(n-(n-1))/n$%. То же самое можно представить как $%((n+1)-1)/1+((n+1)-2)/2+((n+1)-3)/3+\cdots+((n+1)-n)/n=(n+1)S_n-n$%. В задаче требуется связать между собой $%T_n$% и $%S_{n+1}$% при $%n=1988$%, что теперь можно осуществить в виде $%T_n=(n+1)(S_{n+1}-1/(n+1))-n=(n+1)S_{n+1}-(n+1)$%. Таким образом, можно взять $%a=b=n+1$%, и эти числа принимают допустимые значения. Далее, поскольку $%T_n/(n+1)=S_{n+1}-1$%, мы приходим к тождеству $%U_n=(S_2-1)+(S_3-1)+\cdots+(S_{n+1}-1)=T_{n+1}-(n+1)$%. Пользуясь тем, что $%T_{n+1}=(n+2)S_{n+1}-(n+1)$%, выводим тождество $%U_n=(n+2)S_{n+1}-2(n+1)$%, то есть можно положить $%c=n+2$% и $%d=2(n+1)$%. отвечен 15 Янв '14 8:06 
falcao |
Проверьте, пожалуйста, формулу для $%U_n$% (числа в знаменателях).
@falcao: исправлено
@solomich: какова природа этой задачи? Условие звучит очень странно. Дело в том, что числа в этой задаче не такие уж большие: $%S_n$% имеет порядок роста $%\ln n$%, а $%T_n$% растёт примерно как $%n\ln n$%. То есть речь о числах, имеющих порядок нескольких тысяч, а оценивать позволено с точностью до миллиона. Можно применить очень грубые неравенства, завысив всё на несколько порядков, и слагаемые $%b$%, $%d$% всё компенсируют.
@falcao: что подразумевается под природой? Источник? Просто нашёл в интернете, но условие действительно звучит странно.
Да, я имел в виду происхождение задачи. Оно очень странное, потому что разумно было бы оценивать частное чисел $%T_n$% и $%S_{n+1}$% с округлением до целого, или как-то ещё. А здесь всё звучит примерно как "найдите расстояние между Москвой и Петербургом с точностью до миллиона километров, где ошибка разрешена лишь в сторону увеличения".
такую задачу решить значительно легче, чем заданную мной :)
@solomich: да, я здесь поначалу недооценил одну вещь. Нам ведь надо не просто домножить одно число на некое натуральное, чтобы превысить другое, но надо, чтобы разность была натуральной. За этой задачей скрываются вовсе не оценки, как мне думалось вначале, а вполне конкретные тождества, явный вид которых авторы задачи не хотели подсказывать и "замаскировали" их под "не превышает миллиона". Сейчас стало ясно, что надо делать, поэтому решение я вскоре изложу.
@falcao: задача, оказалось, американских корней: http://www.zaba.ru/cgi-bin/tasks.cgi?tour=national.usamo.1989&solution=1