Окружность касается сторон угла в точках A и B. Расстояние от лежащей на окружности точки C до прямой AB равно 6. Найдите сумму расстояний от точки C до сторон угла, если известно, что одно из этих расстояний на 5 больше другого.

задан 16 Янв '14 0:22

изменен 16 Янв '14 20:14

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Точка $%C$% может лежать на дуге, которая ближе к вершине угла, или на дуге, которая дальше. В связи с этим надо рассматривать два случая, но оба они аналогичны.

Обозначим через $%D$% и $%E$% соответственно проекции точки $%C$% на стороны угла, которым принадлежат точки $%A$% и $%B$%. Пусть также $%K$% -- проекция $%C$% на $%AB$%. Рассмотрим треугольники $%CDK$% и $%CKE$%. Докажем, что они подобны. Прежде всего, четырёхугольники $%CDAK$% и $%CEBK$% являются вписанными. Углы $%DCK$% и $%KCE$% равны, так как равны противоположные им углы этих четырёхугольников. Далее, угол $%DKC$% равен $%DAC$% по свойству вписанных углов. Поскольку $%DA$% -- касательная, угол $%DAC$% равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $%AC$%, каковым является $%ABC$%. Однако этот угол, будучи равен $%KBC$%, равен также $%KEC$%. Тем самым, два рассмотренных выше треугольника подобны по двум углам.

Теперь можно заключить, что $%DC:CK=KC:CE$%, то есть $%CD\cdot CE=CK^2=36$%. Мы при этом знаем, что расстояния $%CD$% и $%CE$% отличаются на $%5$%. Отсюда можно сделать вывод, что это $%4$% и $%9$% (в том или ином порядке) из соображений теоремы Виета. Их сумма равна $%13$%.

ссылка

отвечен 16 Янв '14 0:50

Если не затруднит, можно ,пожалуйста, рисунок, а то я не до конца понял момент с описанными четырёхугольниками.

(16 Янв '14 1:48) klach1996

Я не умею делать рисунки кроме как на бумаге. По словесному описанию всё можно нарисовать. Угол; окружность; точки касания; хорда; точка на дуге; проекции.

Вписанные четырёхугольники там будут сразу видны: у них противоположные углы равны 90 градусам.

(16 Янв '14 2:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,027

задан
16 Янв '14 0:22

показан
1098 раз

обновлен
16 Янв '14 2:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru