$$|x-a+1|+|x-2a|=x $$

задан 17 Янв '14 8:06

10|600 символов нужно символов осталось
2

Попробую для эксперимента написать решение без черновика.

Прежде всего, сравним числа $%a-1$% и $%2a$%. Они будут равны при $%a=-1$%. Отдельно разберём этот случай. Уравнение имеет вид $%2|x+2|=x$%. Ясно, что $%x\ge0$%, и тогда модуль раскрывается однозначно. Получается $%2x+4=x$%, и $%x$% оказывается отрицательным. Значит, данное уравнение решений не имеет. Далее разбираем два случая.

1) $%a < -1$%. Здесь $%2a < a-1$%, и числовая прямая разбивается на три промежутка. На каждом из них модули раскрываются однозначно. При $%x\ge a-1$% имеем уравнение $%2x-3a+1=x$%. Оно означает, что $%x=3a-1$%. Чтобы это решение подходило, нужно выполнение условия $%3a-1\ge a-1$%, то есть $%a\ge0$%, но оно не выполняется.

Пусть $%x$% лежит на втором промежутке, считая справа, то есть $%2a < x < a-1$%. Раскрывая модули, получаем $%-x+a-1+x-2a=x$%, то есть $%x=-a-1$%. Легко видеть, что это число не принадлежит рассматриваемому интервалу: из $%-a-1 < a-1$% следует $%a > 0$%.

Наконец, пусть $%x\le2a$%. Здесь получается $%2x-3a+1=-x$% (ср. первый из промежутков). Решением будет $%x=a-1/3$%. Неравенство $%a-1/3\le2a$% снова не выполнено. Это значит, что в первом случае уравнение не будет иметь решений.

2) $%a > -1$%. Здесь $%a-1 < 2a$%. Снова имеем три промежутка, и на самом правом из них, то есть на $%x\ge2a$%, получаем $%x=3a-1$%, как и в первом случае. Но теперь оно принадлежит промежутку при $%3a-1\ge2a$%, то есть $%a\ge1$%. Запоминаем это решение.

Пусть $%x$% принадлежит среднему промежутку, то есть $%a-1 < x < 2a$%. Здесь возникает уравнение, которое упрощается до $%x=a+1$%. Его принадлежность интервалу означает, что $%a > 1$%. Это мы также запоминаем.

Наконец, пусть $%x\le a-1$%. После раскрытия модулей получается $%x=a-1/3$%, как это было в первом случае. Очевидно, такое $%x$% нам не подходит.

Теперь подведём итоги. При $%a < 1$% решений нет. При $%a=1$% решение одно: $%x=2$%. При $%a > 1$% имеются два решения: $%x=a+1$% и $%x=3a-1$% (они различны).

ссылка

отвечен 17 Янв '14 10:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×528

задан
17 Янв '14 8:06

показан
1513 раз

обновлен
17 Янв '14 10:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru