Каждой точке плоскости сопоставлено вещественное число так, что выполнено следующее свойство: для всякого треугольника число, сопоставленное центру вписанной в него окружности, совпадает со средним арифметическим чисел, сопоставленных его вершинам. Доказать, что всем точкам плоскости сопоставлено одно и то же число.

задан 17 Янв '14 9:49

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим четыре точки $%A$%, $%B$%, $%C$%, $%D$%, лежащие на одной прямой (перечисляемые по порядку), такие что $%AB=CD$%. Пусть $%O$% -- середина $%BC$%. Проведём через $%O$% перпендикуляр $%l$% к отрезку $%BC$% и построим симметричные относительно $%l$% равнобедренные треугольники $%APQ$% и $%DPQ$%, у которых центрами вписанных окружностей будут точки $%B$% и $%C$% соответственно. Такое построение всегда осуществимо: сначала строим окружности с центрами $%B$% и $%C$% радиусом $%BO=CO$%; далее проводим касательные из точки $%A$% к первой окружности и касательные из точки $%D$% ко второй. При этом образуются два нужных нам треугольника.

Пусть $%f$% -- функция, сопоставляющая каждой точке плоскости число из условия. Из нашего построения следует, что $%f(A)+f(P)+f(Q)=3f(B)$% и $%f(D)+f(P)+f(Q)=3f(C)$%. Отсюда следует, что $%f(A)-f(D)=3f(B)-3f(C)$%, то есть $%f(A)-3f(B)=f(D)-3f(C)$%. Этот вывод верен для любых отрезков $%AB$% и $%CD$% равной длины, расположенных на одной прямой, где числа $%A$%, $%B$%, $%C$%, $%D$% перечислены в порядке следования.

Теперь докажем, что функция $%f$% постоянна. Возьмём на плоскости произвольные две различные точки $%X$% и $%Y$%. На прямой $%XY$% выберем точки $%X_1$%, $%Y_1$% слева от отрезка $%XY$% и $%X_2$%, $%Y_2$% справа от отрезка $%XY$% такие, что $%X_1Y_1=XY=X_2Y_2$%, где отрезки не пересекаются, а точки расположены в указанном порядке слева направо. Применяя полученный выше принцип к каждой из трёх пар равных отрезков, мы приходим к равенствам $%f(X_1)-3f(Y_1)=f(Y)-3f(X)$%, $%f(X_1)-3f(Y_1)=f(Y_2)-3f(X_2)$%, $%f(X)-3f(Y)=f(Y_2)-3f(X_2)$%. Из них следует, что $%f(X)-3f(Y)=f(Y_2)-3f(X_2)=f(X_1)-3f(Y_1)=f(Y)-3f(X)$%, то есть $%f(X)=f(Y)$%. Ввиду произвольности точек $%X$%, $%Y$%, это означает постоянство функции.

ссылка

отвечен 17 Янв '14 13:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×539
×461

задан
17 Янв '14 9:49

показан
552 раза

обновлен
17 Янв '14 13:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru