|
Углы треугольника образуют арифметическую прогрессию, синусы удвадцатеренных углов, взятых в той же последовательности, также образуют арифметическую прогрессию. Найти углы треугольника. Решение $% \alpha = \beta = \gamma = \frac{\pi}{3} $% видно сразу, но с другими возможными решениями ничего не понятно. задан 17 Янв '14 11:40 
student |
|
Тут есть ещё три решения. Ясно, что средний по величине угол равен $%\pi/3$%. Для поиска дополнительных решений, два других обозначим в виде $%\pi/3-\varphi$% и $%\pi/3+\varphi$%. Тогда арифметическую прогрессию образуют числа $%\sin(2\pi/3-x)$%, $%\sin(2\pi/3)$% и $%\sin(2\pi/3+x)$%, где $%x=20\varphi$%. Можно составить уравнение, что сумма двух крайних чисел равна удвоенному среднему, воспользовавшись либо формулой для суммы синусов, либо раскрыть синус разности и синус суммы. В результате окажется, что $%\cos x=1$%. Это значит, что $%\varphi=\pi k/10$%, где значение угла находится строго между нулём и $%\pi/3$%. Подходят значения $%1\le k\le3$%, и в градусном измерении это приводит к трём дополнительным решениям: 42, 60, 78; 24, 60, 96; 6, 60, 114. отвечен 17 Янв '14 12:27 
falcao sin(2π/3−x), sin(2π/3) и sin(2π/3+x) а не $%sin(20\pi /3 -x)$% и т.д.?
(17 Янв '14 13:27)
student
Это не опечатка, поскольку $%20\pi/3$% и $%2\pi/3$% отличаются на число $%6\pi$%, кратное периоду синуса.
(17 Янв '14 13:39)
falcao
|