|
Решить систему уравнений: $% \begin{cases} x^2 + y^2 - 2z^2 = 2a^2 \\ x + y + 2z = 4(a^2 + 1) \\ z^2 - xy = a^2 \end{cases} $% задан 17 Янв '14 11:48 
student |
|
Выражая $%z^2$% из третьего уравнения и подставляя в первое, получаем $%(x-y)^2=4a^2$%. Поскольку система симметрична относительно перестановки $%x$% и $%y$%, достаточно разобрать случай $%y-x=2a$%. Третье уравнение приводит к $%z^2=xy+a^2=x(x+2a)+a^2=(x+a)^2$%. Поскольку $%x+y=2x+2a$%, и правая часть второго уравнения положительна, равенство $%z=-x-a$% не может иметь места. Следовательно, $%z=x+a$%, и второе уравнение даёт $%z=a^2+1$%; $%x=a^2-a+1$%; $%y=a^2+a+1$% (с точностью до перестановки). Легко проверяется, что все равенства были учтены, и эти числа подходят. отвечен 17 Янв '14 12:49 
falcao |