Комбинаторика

Всего существует 5 наборов ненулевых цифр, которые встречаются в искомом 31-значном числе: 4//3,1//2,2//2,1,1//1,1,1,1. Рассмотрим количество случаев для каждого варианта отдельно. Для первого случая существует единственное число с цифрой 4 на первом месте. Для второго случая 230=60 вариантов ( 2 возможности поставить цифру на первое место и затем для каждого из этих вариантов существует 30 возможностей выбрать позицию для второй цифры). Для третьего случая 30 вариантов (обусловлено числом выбора места для второй двойки). Четвертый случай удобно разбить на два: А) цифра 1 на первом месте, тогда существует А из 30 по 2=3029=870 вариантов ( размещения так как выбираются позиции для двух разных цифр). Б) цифра 2 на первом месте, тогда существует С из 30 по 2=3029/2=435 вариантов ( сочетания так как выбираются позиции для двух одинаковых цифр). Для пятого варианта цифра 1 фиксируется на первом месте, и существует С из 30 по 3=3029*28/6=4060 вариантов ( сочетания так как выбираются позиции для трех одинаковых цифр). Общее число 31-значных чисел равно 1+60+30+870+435+4060=5456.