$$2 * \sqrt{1+2x} + \sqrt{1-2x} = \sqrt{1-2x + \sqrt{2x(1+2x)} }$$

$$\sqrt{9-3x} + \sqrt{4-x} > \sqrt{2x+25}$$

$$\sqrt{1+x^{2} } + \sqrt{1- x^{2} } = x^{4} +2$$

задан 18 Мар '12 21:30

изменен 18 Мар '12 21:44

1

Вы уверены, что здесь нет ошибки? Первое уравнение не имеет решений (проверено по графику)

(18 Мар '12 21:55) DocentI

@DocentI В этом уравнении может быть все что угодно. Ответ преподавателя не интересует даже если он правильный. Мне бы просто узнать с чего начать решать это уравнение.

(18 Мар '12 22:01) Global

С ОДЗ, конечно! )))
Можно обозначить радикалы левой части через a и b и потом возводить в квадрат. Там что-то будет сокращаться. В конце подставьте $%2x =(a^2-b^2)/2$%

(18 Мар '12 22:12) DocentI

А все-таки попробуйте пименить монотонность (хотя бы вторым способом) Интересно, какая будет реакция преподавателя?

(19 Мар '12 12:14) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
1

Для второго уравнения можно использовать идею монотонности: левая часть убывает. а правая - возрастает. Значит, у уравнения не более одного решения (находится подбором). Этот единственный корень - 0.
Я сначала не заметила, что там неравенство! Но это не страшно: просто ответом будет $%-12,5\leq x< 0$%.

В третьем уравнении используем идею "отделяющего числа": левая часть не превосходит 2, а правая - не меньше 2. Значит, равенство возможно только тогда, когда обе они равны 2.

Чтобы доказать, что левая часть не больше 2, возведем ее в квадрат. Получим выражение $%2+2\sqrt{1-x^4}\leq 2+2=4$%.

Ы первом уравнении ОДЗ $%0\leq x\leq 1/2$%. Обозначим $%\sqrt{1+2x}=a; \sqrt{1-2x}=b$%, тогда $%b\geq 0, a\geq 1$%. Обе части равенства неотрицательны, возведем его в квадрат. Получим $%4a^2+4ab+b^2=b^2+\sqrt{2x}a$%. Слагаемое $%b^2$% и множитель $%a$% сокращаются. Потом надо подставить x через a и b и сократить (после возведения в квадрат) на (a + b).

ссылка

отвечен 18 Мар '12 22:10

изменен 19 Мар '12 0:05

@DocentI Ой нет уж. Подбором точно ничего не решается. Во втором по моему нужна замена переменной, но что заменять я не пойму. Это уравнения 9-10 класса)

(18 Мар '12 22:29) Global

@DocentI Но у меня не примут такое решение на экзамене. Тут возведение в квадрат, замена переменной, возможно решение уравнения со степенью выше 2. Но никак не рассуждением о возрастающей и убывающей функциях

(18 Мар '12 23:12) Global

Кто Вам это сказал? Уравнение явно "некрасивое", такие предназначены для нестандартных методов. Все-таки узнайте: может, это Ваши страхи?

(18 Мар '12 23:16) DocentI

@DocentI Нет это университет и преподаватель, она не терпит даже если ты не выучил КЛАССИЧЕСКОЕ определение.

(18 Мар '12 23:20) Global

И это правильно! Определения нельзя перевирать!
Но этот метод решения - тоже классический!
Есть два метода решения уравнений, кроме преобразований: через возрастание/убывание и через "отделяющее число". И судя по набору задач, преподаватель хочет проверить владение всеми этими методами!
Я конечно, незнакома с Вашим преподавателем. но не могу понять, как она может не принять правильное решение?

(18 Мар '12 23:26) DocentI

Я решила второе уравнение стндартным методом, там все нормально! После двух возведений в квадрат получается неравенство $%3x(2x+19)<0$% с дополнительным условием $%x\geq -2$%

(18 Мар '12 23:36) DocentI

@DocentI Второй раз возводить в квадрат мы не имеем права так как не знаем, какой знак получится в 3х + 6

(18 Мар '12 23:47) Global

Просто надо рассмотреть два случая: если x < -2 то неравенство выполняется автоматически!

Вот поэтому проще "мой" метод

(19 Мар '12 0:02) DocentI
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1
  1. В первом уравнении левую и правую части нужно возвести в квадрат. Вынося за скобки $%\sqrt{1+2x}$%,получим первое уравнение $%1+2х=0$%. Затем разберитесь с оставшимся уравнением.

  2. С неравенствами нужно быть еще более аккуратными. Левую и правую части нужно возвести в квадрат, при этом, нужно требовать $%2х+5>=0$%. Полученное неравенство (радикал слева,все остальное справа) нужно возвести в квадрат, записав дополнительные условия: правое выражение >=0, каждое из подкоренных выражений слева тоже >=0, взвести в квадрат обе части неравенства, решить его с учетом выписанных ограничений.

  3. Здесь можно поступить "дедовским методом". Возвести в квадрат, упростить, затем еще раз возвести в квадрат, решить уравнение и проверить полученные корни, подставляя их в исходное уравнение. Желаю успехов!

ссылка

отвечен 18 Мар '12 22:14

изменен 18 Мар '12 22:33

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Эти уравнения - на нестандартные методы! Посмотрите, хотя бы, на степени в последнем!

(18 Мар '12 22:16) DocentI

@Anatoliy В 1 и во 2 уравнении пользуясь этим методом будут огромные степени. А во втором будет заумное условие, которое не получается осуществить. Попробуйте выполнить пару действий на пути к решению и поймете почему я прошу помощи.

(18 Мар '12 22:24) Global

Третье нестандартное. Правая часть всегда >=2, левая <=2 (можно взять, например 1+x^2=2cos^2(t),1-x^2=2sin^2(t). Единственное решение х=0.

(18 Мар '12 22:37) Anatoliy

@Anatoliy Должно быть РЕШЕНИЕ и без синусов и косинусов.)))

(18 Мар '12 22:42) Global

Второе неравенство сведется к квадратичному, а первое уравнение нужно дорешать до конца.

(18 Мар '12 22:44) Anatoliy

@Anatoliy Второе уже не помню к чему сводится, но там будет момент который я не могу обойти

(18 Мар '12 22:46) Global

Люди, Вы читали мое решение? Сейчас его продолжу, если уж надо...

(18 Мар '12 23:08) DocentI

@DocentI Хах хотя все ответы правильны у вас, правда в третьем не понятно Потом надо подставить x через a и b и сократить (после возведения в квадрат) на (a + b).

(19 Мар '12 1:38) Global

А Вы проделали все это? $%2x =(a^2-b^2)/2=(a-b)(a+b)/2$%. Слева тоже выносится a+b, (не обращается в 0).

(19 Мар '12 10:55) DocentI
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
1

В первом уравнении есть решение x=-1/2. Это одиночная точка ОДЗ, поэтому на графике заметить трудно. Находится стандартно. Обозначим u^2=1+2x, v^2=1-2x, выразим x=(u^2-v^2)/4, возведем 2 раза в квадрат, получим уравнение, в котором u^2 выносится за скобки, откуда и решение u=0, т.е. x=-1/2. Остальные решения не попадают в ОДЗ, если квадратный корень - арифметический. Если же считать, что квадратный корень может принимать разные знаки, то возможно еще одно решение x=0.

ссылка

отвечен 19 Мар '12 13:58

Спасибо за поправку. Не заметила! Надо было решить без ОДЗ, а потом проверить.

(19 Мар '12 14:13) DocentI

Для оценки левой части третьего уравнения следует воспользоваться неравенством ((a+b)/2)^2<=(a^2+b^2)/2.

(19 Мар '12 18:21) Anatoliy

Ну, скорее не "следует", а "можно" - я предложила другой способ, не требующий знаний стандартных неравенств.

(19 Мар '12 19:31) DocentI

Андрей Юрьевич,так обозначается арифметический квадратеый корень ( в школьном курсе математики).

(19 Мар '12 19:36) Anatoliy

Алгебраический корень в ТФКП обозначается точно так же. Я понимаю, что в данном случае имеется в виду арифметический квадратный корень, просто уточнил для порядка.

(19 Мар '12 21:29) Андрей Юрьевич
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,447
×757

задан
18 Мар '12 21:30

показан
2139 раз

обновлен
19 Мар '12 21:29

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru