Дан многочлен третьей степени, имеющий три различных целых корня, средний из которых равен 1. Корни производной этого многочлена рациональные. Какое наименьшее значение может принимать больший корень многочлена?

задан 18 Янв '14 23:04

10|600 символов нужно символов осталось
1

Для простоты вычислений можно временно считать, что средний корень равен нулю. В этом случае происходит переход от функции $%f(x)$% к функции $%f(x+1)$%. При этом производная меняется по такому же закону, то есть её корни уменьшаются на единицу, и на их рациональность это не влияет.

Итак, пусть многочлен имеет кроме нуля корни $%-m$% и $%n$%, где $%m,n\in{\mathbb N}$%. Он равен $%(x+m)x(x-n)=x^3+(m-n)x^2-mnx$%, а его производная равна $%3x^2+2(m-n)x-mn$%. Рациональными корнями она обладает тогда и только тогда, когда приведённый дискриминант $%D/4=(m-n)^2+3mn=m^2+mn+n^2$% является точным квадратом. Установим, при каком минимальном $%n$% это возможно.

Пусть $%n=1$%. Предположим, что $%m^2+m+1=s^2$%, где $%s$% натуральное. Тогда $%4m^2+4m+4=(2s)^2$%, откуда $%(2s)^2-(2m+1)^2=3$%. Такое представление числа $%3$% в виде разности квадратов возможно только в случае $%2^2-1^2$%, однако $%2m+1 > 1$%.

Пусть $%n=2$%. Допустим, что $%m^2+2m+4=s^2$% для некоторого натурального $%s$%. Как и в прошлом случае, $%s^2-(m+1)^2=3$%, но $%m+1 > 1$%.

При $%n=3$% подходит $%m=5$%: при этом $%m^2+mn+n^2=7^2$%. Корнями производной многочлена $%(x+5)x(x-3)$% будут рациональные числа $%-3$% и $%5/3$%. Для исходной задачи наименьшим значением большего из корней, с учётом проделанного нами "сдвига", будет число $%4$%.

ссылка

отвечен 19 Янв '14 0:18

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,938

задан
18 Янв '14 23:04

показан
1512 раз

обновлен
19 Янв '14 0:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru