математика - Многочлен третьей степени

Для простоты вычислений можно временно считать, что средний корень равен нулю. В этом случае происходит переход от функции $%f(x)$% к функции $%f(x+1)$%. При этом производная меняется по такому же закону, то есть её корни уменьшаются на единицу, и на их рациональность это не влияет.

Итак, пусть многочлен имеет кроме нуля корни $%-m$% и $%n$%, где $%m,n\in{\mathbb N}$%. Он равен $%(x+m)x(x-n)=x^3+(m-n)x^2-mnx$%, а его производная равна $%3x^2+2(m-n)x-mn$%. Рациональными корнями она обладает тогда и только тогда, когда приведённый дискриминант $%D/4=(m-n)^2+3mn=m^2+mn+n^2$% является точным квадратом. Установим, при каком минимальном $%n$% это возможно.

Пусть $%n=1$%. Предположим, что $%m^2+m+1=s^2$%, где $%s$% натуральное. Тогда $%4m^2+4m+4=(2s)^2$%, откуда $%(2s)^2-(2m+1)^2=3$%. Такое представление числа $%3$% в виде разности квадратов возможно только в случае $%2^2-1^2$%, однако $%2m+1 > 1$%.

Пусть $%n=2$%. Допустим, что $%m^2+2m+4=s^2$% для некоторого натурального $%s$%. Как и в прошлом случае, $%s^2-(m+1)^2=3$%, но $%m+1 > 1$%.

При $%n=3$% подходит $%m=5$%: при этом $%m^2+mn+n^2=7^2$%. Корнями производной многочлена $%(x+5)x(x-3)$% будут рациональные числа $%-3$% и $%5/3$%. Для исходной задачи наименьшим значением большего из корней, с учётом проделанного нами "сдвига", будет число $%4$%.