Найдите многочлен P(x) пятой степени, если известно, что P(x)+1 делится на $$(x-1)^3$$, а P(x)-1 делится на $$(x+1)^3$$

задан 19 Янв '14 0:05

изменен 19 Янв '14 0:20

Речь идёт про $%(x-1)^3$% и $%(x+1)^3$%?

(19 Янв '14 0:19) falcao

да именнно так

(19 Янв '14 0:28) parol
10|600 символов нужно символов осталось
2

По условию, $%P(x)=(x-1)^3(ax^2+bx+c)-1$% для некоторых чисел $%a,b,c$%, где $%a\ne0$%. Мы знаем, что $%P(x)-1$% делится на $%(x+1)^3$%. Можно ввести новую переменную $%y=x+1$% и исследовать, когда $%P(y-1)-1=(y-2)^3(a(y-1)^2+b(y-1)+c)-2$% делится на $%y^3$%. Здесь можно раскрыть все скобки и приравнять к нулю коэффициенты при $%y^2$%, при $%y$%, а также свободный член. Получится система из трёх линейных уравнений относительно $%a,b,c$%. У меня получилось $%a=-3/8$%, $%b=-9/8$%, $%c=-1$%. Сам многочлен оказался равен $%P(x)=-\frac38x^5+\frac54x^3-\frac{15}8x$%.

Добавление. Возможен и другой путь. Производная многочлена $%P(x)$% делится на $%(x-1)^2$% и на $%(x+1)^2$%, то есть имеет вид $%k(x-1)^2(x+1)^2=k(x^2-1)^2=k(x^4-2x^2+1)$%. Далее надо проинтегрировать выражение, и использовать то, что $%P(1)=-1$% и $%P(-1)=1$%.

ссылка

отвечен 19 Янв '14 0:47

изменен 19 Янв '14 0:54

второй способ (добавление)- супер!

(19 Янв '14 12:59) Lyudmyla

у меня вышло все так как у вас только -3*x^5/8+5x^3/4-15x/8+1

(19 Янв '14 15:13) parol

@parol: слагаемое 1 у Вас лишнее. Судя по всему, Вы нашли то, что соответствует $%P(x)+1$% и делится на $%(x-1)^3$%. Проверьте ход решения, и это сразу должно проявиться.

(19 Янв '14 16:20) falcao

я решал чуть чуть по другому , вы правы я там кое что не учел

(19 Янв '14 16:52) parol

@parol: решать тут можно разными способами, но когда ответ отличается на 1, то ясно, что он почти совпал. То есть нужно какое-то мелкое исправление внести.

(19 Янв '14 17:00) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,987
×4,004
×547

задан
19 Янв '14 0:05

показан
1844 раза

обновлен
19 Янв '14 17:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru