Найдите многочлен P(x) пятой степени, если известно, что P(x)+1 делится на $$(x-1)^3$$, а P(x)-1 делится на $$(x+1)^3$$ задан 19 Янв '14 0:05 parol |
По условию, $%P(x)=(x-1)^3(ax^2+bx+c)-1$% для некоторых чисел $%a,b,c$%, где $%a\ne0$%. Мы знаем, что $%P(x)-1$% делится на $%(x+1)^3$%. Можно ввести новую переменную $%y=x+1$% и исследовать, когда $%P(y-1)-1=(y-2)^3(a(y-1)^2+b(y-1)+c)-2$% делится на $%y^3$%. Здесь можно раскрыть все скобки и приравнять к нулю коэффициенты при $%y^2$%, при $%y$%, а также свободный член. Получится система из трёх линейных уравнений относительно $%a,b,c$%. У меня получилось $%a=-3/8$%, $%b=-9/8$%, $%c=-1$%. Сам многочлен оказался равен $%P(x)=-\frac38x^5+\frac54x^3-\frac{15}8x$%. Добавление. Возможен и другой путь. Производная многочлена $%P(x)$% делится на $%(x-1)^2$% и на $%(x+1)^2$%, то есть имеет вид $%k(x-1)^2(x+1)^2=k(x^2-1)^2=k(x^4-2x^2+1)$%. Далее надо проинтегрировать выражение, и использовать то, что $%P(1)=-1$% и $%P(-1)=1$%. отвечен 19 Янв '14 0:47 falcao второй способ (добавление)- супер!
(19 Янв '14 12:59)
Lyudmyla
у меня вышло все так как у вас только -3*x^5/8+5x^3/4-15x/8+1
(19 Янв '14 15:13)
parol
@parol: слагаемое 1 у Вас лишнее. Судя по всему, Вы нашли то, что соответствует $%P(x)+1$% и делится на $%(x-1)^3$%. Проверьте ход решения, и это сразу должно проявиться.
(19 Янв '14 16:20)
falcao
я решал чуть чуть по другому , вы правы я там кое что не учел
(19 Янв '14 16:52)
parol
|
Речь идёт про $%(x-1)^3$% и $%(x+1)^3$%?
да именнно так