Дана функция f(x) = f(x) = cos((4 / 9) * pi * (x + 1 / x + 1 / 4)). Найдите длину наибольшего промежутка, на котором эта функция имеет обратную.

задан 19 Янв '14 0:48

изменен 19 Янв '14 0:52

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим такие отрезки, на которых значение функции меняется от -1 до 1 (в ту или в другую сторону). Нас интересуют такие случаи, когда выражение под знаком косинуса будет целочисленным кратным $%\pi$%. При этом возникают уравнения вида $%x+1/x+1/4=9k/4$%. Пусть пока $%x > 0$%. Функция $%x+1/x$% возрастает при $%x > 1$%. При $%k\ge1$% решим уравнение, рассмотренное выше. Оно сводится к квадратному. Получается $%x_k=\frac{9k-1}8+\frac38\sqrt{9k^2-2k-7}$%. При этом $%x_{k+1}=\frac{9k+8}8+\frac38\sqrt{9k^2+16k}$%. Возникает промежуток, имеющий длину $%x_{k+1}-x_k$%, на котором функция монотонна. Длина этого промежутка равна $$\frac98+\frac38\frac{18k+7}{\sqrt{9k^2-2k-7}+\sqrt{9k^2+16k}}.$$ При $%k=1$% значение этого выражения равно $%3$%; с увеличением $%k$% оно уменьшается. Убывание соответствующей функции можно обосновать, например, с помощью производной.

Таким образом, промежутки длиной менее $%3$% нас не интересуют, и можно не рассматривать поведение функции вблизи нуля. При $%x\le-1$% исследование проводится аналогично. максимальная длина промежутка оказывается равна трём.

ссылка

отвечен 19 Янв '14 10:09

@falcao: Наверное, если я правильно понял вместо "Пусть пока х>0" точнее будет "Пусть пока х>1". И я не совсем понял почему "Нас интересуют такие случаи, когда выражение под знаком косинуса будет целочисленным кратным pi."

(19 Янв '14 21:03) serg55
1

@serg55: я для начала просто взял положительную полуось. Случай $%x > 1$% проще для рассмотрения из-за монотонности, и поскольку там есть промежуток длины 3, то "мелочь" вблизи нуля интереса уже не представляет. При возрастании $%x$% происходит монотонное изменение аргумента косинуса с прохождением целочисленных кратных $%\pi$%, и график при этом колеблется от -1 до 1 и обратно. Это как раз и есть наибольшие монотонные участки. Только их имеет смысл рассматривать. При $%x < 0$% всё исследуется похожим способом. Поведение вблизи нуля можно игнорировать по указанной выше причине.

(19 Янв '14 21:20) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

В решении все равно предложено с помощью производной доказать, что Хk+1 < Xk. Проблема в том, что задача для 10 класса в первой половине учебного года. Да и функция не простая (дробно-иррациональная). предлагаю поступить иначе. Рассмотрим замену: t=(4/9pi)(x+1/x+1/4) (для x>0). Очевидно, что минимум функции t равен (4/9)(2+1/4)=pi в точке х=1. (без производной, а неравенством Коши - задача олимпиадная). Далее можно представить эскиз графика функции t. Проведем горизонтальные прямые с ординатами x=pi, x=2pi, x=3pi... Поскольку ветка графика функции t при х>=1 представляет кривую, полученную "сложением" возрастающей линейной функции и выпуклой гиперболы, то сама кривая тоже выпуклой будет. э это значит что равнвм значениям приращений функции t соответствует уменьшающиеся значения приращений абсциссы х. Следовательно, максимальный промежуток для х при дельта t-pi будет при =1. Как нетрудно посчитать 2pi=f(4). Ответ: (4-1)=3. Примечание. Прямые t=k*pi пересекают график функции t второй раз в точках интервала (0;1), что не представляет интереса.

ссылка

отвечен 28 Янв '14 9:21

@Nynko: находить производную дробно-иррациональной функции никто не предлагал. На то, что $%x+1/x$% возрастает при $%x > 1$%, я сослался как на нечто общеизвестное. Понятно, что это легко следует из свойств неравенств (например, из рассмотрения разности значений функции в двух точках). Неравенство о среднем, конечно, для этой цели тоже подходит.

(28 Янв '14 12:44) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,001

задан
19 Янв '14 0:48

показан
1571 раз

обновлен
28 Янв '14 12:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru