2
1

Какая последняя ненулевая цифра в десятичной записи числа 100! ?

P.S. Я собираюсь участвовать в Московской математической олимпиаде для 8 классов. Подскажите, пожалуйста, на что сделать упор в подготовке, какую литературу посоветуете прочитать? Заранее благодарен за ответ.

задан 19 Янв '14 15:05

10|600 символов нужно символов осталось
3

Сначала по поводу подготовки к олимпиадам: проще всего взять сборники задач этой же олимпиады за предыдущие годы. В Сети вся эта информация должна быть. Что-то получится решить самостоятельно, а где-то можно прочитать авторские решения или спросить на форуме.

Теперь по поводу задачи. Есть довольно известная задача о том, сколькими нулями оканчивается число $%100!$%. Это равносильно вопросу, на какую максимальную степень десяти делится это число. Выясняем сначала, сколько чисел от 1 до 100 кратны пяти. Ясно, что их ровно 20, и они дают вклад $%5^{20}$% в произведение. Но кроме них есть ещё 4 числа, делящиеся на 25. Каждое из них даёт дополнительный вклад 5, и в итоге получается $%5^{24}$%. Легко видеть, что на $%5^{25}$% произведение уже не делится. Поскольку на $%2^{24}$% число $%100!$% заведомо делится (можно таким же методом убедиться, что оно делится на $%2^{97}$%), отсюда следует, что число оканчивается ровно 24 нулями.

Из этого соображения вытекает следующий способ установления последней ненулевой цифры. Надо взять число $%100!$% и сократить его на $%10^{24}$%. Для этого сначала надо поделить на все степени 5. Заодно нам надо будет ещё поделить на $%2^{24}$%. Вместо чисел 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100 после деления на степени 5 и 2 произойдёт деление на $%5^{24}$% и на $%2^{18}$%. Последние цифры (а нас интересуют именно они) станут при этом равны 3, 3, 7, 9, 1, 3, 3, 7, 3, 7, 9, 9 без учёта чисел, превратившихся после деления в единицу. Произведение этих цифр оканчивается на 1.

Теперь нам остаётся учесть последние цифры всех сомножителей от 1 до 100, не делящихся на 5, а также дополнительно поделить на $%2^6$%. Для этого достаточно пропустить при подсчёте число $%64$%. В каждой десятке мы перемножаем числа, оканчивающиеся на 1, 2, 3, 4, что на конце даёт 4. То же самое для чисел, оканчивающихся на 6, 7, 8, 9: здесь произведение тоже оканчивается на 4. При перемножении в пределах каждой десятки получается 6. При перемножении таких чисел на конце снова получилось бы 6, но в одной из десяток мы договорились пропустить множитель 64, и для этой десятки произведение всех участвующих в ней чисел оканчивается уже не на 6, а на 4. Поэтому и в окончательном ответе мы получим 4.

В принципе, здесь возможны и какие-то другие способы подсчёта.

ссылка

отвечен 19 Янв '14 18:38

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,138

задан
19 Янв '14 15:05

показан
2775 раз

обновлен
19 Янв '14 18:38

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru