$$log_{p-x+1}(p^2-2px)<=2$$

задан 19 Янв '14 16:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

Как обычно, рассматриваем два случая для основания логарифма.

1) $%p-x+1 > 1$%, то есть $%x < p$%. Логарифмическая функция возрастает, и мы получаем неравенство $%0 < p^2-2px\le(p-x+1)^2$%. Начнём с первого неравенства $%p(2x-p) < 0$%. Здесь $%p\ne0$%, и надо отдельно рассмотреть случаи положительного и отрицательного $%p$%. Если $%p > 0$%, то $%x < p/2$%, что автоматически влечёт $%x < p$%. Если $%p < 0$%, то тогда $%x > p/2$%, но вместе с неравенством $%x < p$% это приводит к условию $%p > 0$%, то есть к противоречию. Таким образом, надо решить второе неравенство в предположении, что $%p > 0$%. После упрощений получается $%(x-1)^2+2p\ge0$%, что верно всегда. Таким образом, при $%p\le0$% первый случай не даёт решений, а при $%p > 0$% мы в этом случае имеем $%x\in(-\infty;p/2)$%.

2) $%0 < p-x+1 < 1$%, то есть $%p < x < p+1$%. Логарифмическая функция теперь убывает, и мы получаем $%p^2-2px\ge(p-x+1)^2$%, то есть $%(x-1)^2+2p\le0$%. Ясно, что здесь должно быть $%p\le0$% (в противном случае решений не имеется), и получается двойное неравенство $%1-\sqrt{-2p}\le x\le1+\sqrt{-2p}$%, границы которого нам сейчас нужно сравнить с $%p$% и с $%p+1$%. Далее считаем, что $%p < 0$%, так как $%p=0$% приводит к появлению нуля под знаком логарифма.

Очевидно, что $%p+1$% меньше правой границы неравенства, так как $%p < 0 < \sqrt{-2p}$%. Поэтому $%p < p+1 < 1+\sqrt{-2p}$%. Для левой границы неравенства сравнение с $%p$% даёт $%p < 1-\sqrt{-2p}$%, поскольку это равносильно условию $%\sqrt{-2p} < 1-p$%. Оба числа тут положительны, и возведение в квадрат даёт верное неравенство $%-2p < 1-2p+p^2$%. Осталось сравнить $%p+1$% с левой границей неравенства. Совпадение происходит при $%p=-\sqrt{-2p}$%, то есть при $%p=-2$%. В этом случае интервал $%(p;p+1)$% не пересекается с отрезком $%[1-\sqrt{-2p};1+\sqrt{-2p}]$%, и решений нет. Тем более их нет при $%p < -2$%, когда $%p+1 < 1-\sqrt{-2p}$%. То, что знак неравенства будет именно такой, проверяется подстановкой какого-нибудь конкретного значения -- например, $%p=-50$%.

Итак, у нас остался случай $%-2 < p < 0$%, когда имеют место неравенства $%p < 1-\sqrt{-2p} < p+1 < 1+\sqrt{-2p}$%, и тогда пересечением интервала и отрезка будет промежуток $%x\in[1-\sqrt{-2p};p+1)$%.

В ответе получаем, что решений нет при $%p\le-2$% и при $%p=0$%. Для $%p > 0$% множество решений описано в первом случае; для $%-2 < p < 0$% -- во втором.

ссылка

отвечен 19 Янв '14 17:44

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×530

задан
19 Янв '14 16:50

показан
473 раза

обновлен
19 Янв '14 17:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru