Пользуясь теоретико-вероятностными соображениями, доказать тождество: $$1+ \frac{N-n}{N-1} + \frac{(N-n)(N-n-1)}{(N-1)(N-2)} + ... + \frac{(N-n)...2\cdot1}{(N-1)...(n+1)n} = \frac{N}{n}$$ Указание: Из урны, содержащей N шаров и среди них n белых, наудачу вынимаются шары без возвращения. Найти вероятность того, что рано или поздно натолкнутся на белый шар. (Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. Глава 1, упражнение 8).

Не прошу решить задачу, а прошу натолкнуть на мысль.

Мои мысли:

Вероятность того, что рано или поздно натолкнутся на белый шар равна 1. Предполагаю, что это и есть первое слагаемое. Второе слагаемое - это вероятность того, что будет вытащен не белый шар из урны, содержащей N-1 шаров. Третье слагаемое - это вероятность того, что будут вытащены два не белых шара подряд из урны, содержащей N-1 шаров. И так далее N-n раз.

  1. Не могу понять правильно ли я думаю по поводу первого слагаемого?
  2. Смущает N-1 у второго слагаемого. Почему не N? Знаменатель у второго слагаемого говорит нам о том, что один шар уже вытащили, а числитель - то, что это был белый шар.

задан 19 Янв '14 18:45

10|600 символов нужно символов осталось
0

В таком виде вероятностная интерпретация не проходит, потому что при суммировании получается величина, большая 1. Надо домножить обе части на величину $%n/N$%, и тогда тождество приобретёт ясный вероятностный смысл. Первое слагаемое станет равно $%n/N$%: это вероятность того, что при первом же испытании был извлечён белый шар. Второе слагаемое теперь будет равно вероятности события, что первый шар был чёрный, а второй -- белый. Это произведение числа $%(N-n)/N$% на $%n/(N-1)$% (условную вероятность извлечения белого шара). Остальные слагаемые так же естественно интерпретируются, а сумма очевидным образом равна 1.

ссылка

отвечен 19 Янв '14 19:05

Спасибо, в таком виде все просто стало.

(19 Янв '14 19:10) Michael Afan...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,323

задан
19 Янв '14 18:45

показан
2332 раза

обновлен
19 Янв '14 19:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru