Арифметические прогрессии высших порядков

Здесь какой-то глубокой теории не существует, потому что описание всех таких последовательностей очень простое. Обычные арифметические прогрессии описываются формулой $%f(n)=an+b$%. Если рассмотреть многочлен степени 2, то есть $%f(n)=an^2+bn+c$%, то легко видеть, что в выражении $%f(n+1)-f(n)$% старшие члены сократятся, и получится выражение первой степени, зависящее от $%n$%. Точно так же всё обобщается на случай более высоких порядков.

Зависимость тут действует в обе стороны, потому что если просуммировать члены последовательности порядка $%d$%, то получится последовательность порядка $%d+1$%. На этот счёт имеются хорошо известные формулы для суммирования степеней первых $%n$% натуральных чисел. Всё это детально освещено во многих книгах и популярных статьях. Если не ошибаюсь, это можно найти, например, в книге "Конкретная математика" Дональда Кнута и соавторов. Можно посмотреть ссылку в англоязычной Википедии.

Вообще, проще суммировать не степени, а произведения нескольких последовательных чисел. Тогда закономерность получается очень простая. Например, $$1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+\cdots+n(n+1)(n+2)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}4,$$ и аналогично для всех остальных порядков. Из этих формул нетрудно вывести и формулы для суммирования степеней.