В окружности проведены хорды $%AC$% и $%BD$%, пересекающиеся в точке $%E$%, причем касательная к окружности, проходящая через точку $%A$%, параллельна $%BD$%. Известно, что $%CD/ED=3/2$% и $%S_{ABE} = 8$%. Найти площадь треугольника $%АВС$%.

задан 19 Янв '14 21:58

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь достаточно найти $%AE:EC$%. Легко видеть, что $$\frac{AE}{EC}=\frac{AE}{BE}\cdot\frac{BE}{EC}=\frac{AE^2}{BE\cdot ED}.$$ Здесь было использовано то, что треугольник $%BEC$% подобен $%AED$% (по трём углам), откуда $%BE:EC=AE:ED$%. Теперь заметим, что $%BE\cdot ED=(BK+KE)(BK-KE)=BK^2-KE^2=KD^2-KE^2$%, где $%K$% -- середина $%BD$%. Треугольник $%ABD$% равнобедренный (так как $%BD$% параллельна касательной в точке $%A$%), и применение теоремы Пифагора к треугольникам $%ADK$% и $%AEK$% с общей высотой $%AK$% приводит к равенству $%KD^2-KE^2=AD^2-AE^2$%. Таким образом, мы получаем равенство $$\frac{AE}{EC}=\frac{AE^2}{AD^2-AE^2}.$$ Это отношение равно $%4/5$%, поскольку $%AD:AE=AB:AE=CD:ED=3:2$% (здесь было использовано подобие треугольников $%ABE$% и $%DCE$%). Отношение площадей треугольников $%ABE$% и $%CBE$% равно $%4:5$%, то есть площадь второго из них равна $%10$%, и площадь $%ABC$% равна $%8+10=18$%.

ссылка

отвечен 19 Янв '14 22:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,095
×786
×264

задан
19 Янв '14 21:58

показан
850 раз

обновлен
19 Янв '14 22:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru