Пусть $%x \in \mathbb R^n$%. Необходимо вычислить интеграл

$$\int\limits_{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2< z^2}\frac{1}{2^n}\exp\left(-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n|x_i|\right)dx$$

Этот интеграл можно записать в виде $$\int\limits_{\sum\limits_{i=1}^nx_i^2< z^2,\\x_i\geq0}\exp\left(-\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^nx_i\right)dx$$

Поскольку интеграл идёт по шару, то логичнее всего применить сферические координаты:

$$x_1 =r\cos\varphi_1\\x_2=r\sin\varphi_1\cos\varphi_2\\\dots\\x_{n-1}=r\sin\varphi_1\sin\varphi_2\dots\sin\varphi_{n-2}\cos\varphi_{n-1}\\x_{n}=r\sin\varphi_1\sin\varphi_2\dots\sin\varphi_{n-2}\sin\varphi_{n-1}$$

Тогда интеграл перейдёт в вид $$\int\limits_{0}^{z}dr\int\limits_{0}^\frac{\pi}{2}d\varphi_1\dots\int\limits_{0}^\frac{\pi}{2}\exp\left(-\frac{1}{2}r\left(\cos\varphi_1+\sin\varphi_1\cos\varphi_2+\dots+\sin\varphi_1\sin\varphi_2\dots\sin\varphi_{n-2}\cos\varphi_{n-1}+\\+\sin\varphi_1\sin\varphi_2\dots\sin\varphi_{n-2}\sin\varphi_{n-1}\right)\right)r^{n-1}\sin^{n-2}\varphi_1\sin^{n-3}\varphi_2\dots\sin\varphi_{n-2}d\varphi_n$$

И на этом месте я застрял. Подскажите, пожалуйста.

задан 20 Янв '14 10:43

закрыт 20 Янв '14 15:18

10|600 символов нужно символов осталось

Вопрос был закрыт. Причина - "Проблема не актуальна. Интеграл вычислять не надо. Решил задачу без этого ужаса.". Закрывший - MathTrbl 20 Янв '14 15:18

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×101

задан
20 Янв '14 10:43

показан
487 раз

обновлен
20 Янв '14 15:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru