ABCD – треугольная пирамида. Точки А; В; С и середины ребер АD; BD и CD лежат на некоторой сфере с центром в плоскости АВС. AB = 5sqrt(2); AC = 6sqrt(3); BC = 7sqrt(2). Найти объем пирамиды. Я решал следующим образом: так как центр сферы лежит в плоскости АВС и точки А, В, С лежат на сфере, это значит, что треугольник АВС вписан в окружность, проходящую через центральное сечение сферы. Мы можем найти радиус сферы. Сначала найдем площадь треугольника АВС по теореме Герона. Она будет равна 15sqrt(5). Радиус сферы будет равен 7sqrt(3/5). Так как сфера ещё проходит через середины ребер АD; BD и CD, то проведем через эти точки сечение. В сечении будет окружность с радиусом в 2 раза меньше радиуса сферы (подобие, с коэффициентом подобия k = 2). Таким образом радиус окружности в сечении будет равен (7sqrt(3/5))/2. Дальше я предположил, что высота пирамиды попадет в центр сферы и нашел половину высоты из прямоугольного треугольника, в котором катетами являются половина высоты пирамиды и радиус окружности верхнего сечения, а гипотенуза радиус сферы, т.к. сфера проходит через середину бокового ребра пирамиды по условию задачи. Таким образом, высота пирамиды равна 21/sqrt(5). Тогда объем пирамиды равен 105. Но я не знаю верно ли мое предположение, что высота пирамиды попадает в центр сферы, и если это верно, как это доказать.

задан 20 Янв '14 14:04

изменен 20 Янв '14 17:07

10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,849

задан
20 Янв '14 14:04

показан
619 раз

обновлен
20 Янв '14 17:07

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru