|
Найти минимальное значение разности $%x-4a$% при условии $$x^2+4a^2<=4$$ задан 20 Янв '14 15:45 
student |
|
Неравенство может выполняться только при $%|a|\le1$%. Для любого такого фиксированного $%a$% имеем $%x^2\le4-4a^2$%, и ясно, что наименьшим возможным значением $%x$% будет $%-2\sqrt{1-a^2}$%. Остаётся вычесть $%4a$%. В такой формулировке задача выглядит слишком просто, но если имеется в виду минимизация по всем допустимым значениям $%a$%, то тогда надо найти наименьшее значение функции $%f(a)=-2\sqrt{1-a^2}-4a$% на отрезке $%a\in[-1;1]$%. Это делается стандартным способом при помощи производной, которая обращается в ноль при $%a^2=4/5$%. Сравнивая значения функции в критических точках и на концах отрезка, приходим к выводу, что наименьшее значение равно $%f(2/\sqrt5)=-2\sqrt5$%. отвечен 20 Янв '14 16:15 
falcao |
Тут можно было ещё ввести переменную $%y=2a$% и решить задачу графически: на круге $%x^2+y^2\le4$% надо минимизировать значение функции $%x-2y$%, что делается при помощи проведения касательных.