Найти циркуляцию векторного поля a вдоль контура Г в направлении, соответвующем возрастанию параметра t (по формуле Стокса) $$a=- x^{2} y^{3}i+2j+xzk$$ $$Г: x= \sqrt {2}cos(t) , y= \sqrt{2}sin (t), z=1$$

задан 20 Янв '14 15:58

10|600 символов нужно символов осталось
1

Из условия задачи следует, что контур $%\Gamma$% ялвяется плоским, поэтому в качестве поверхности $%S,$% натянутой на контур $%\Gamma,$% можно взять внутренность этого контура, являющуюся кругом $%S=\left \lbrace{(x,\ y,\ z)\colon\;\;x^2+y^2<\sqrt{2},\;\;z=1} \right \rbrace.$% Нормаль $%\vec{\nu}$% к этой поверхности, согласованная с направлением обхода контура, совпадает с вектором $%\vec{k}, $% т.е. $%\vec{\nu}=(0,\ 0,\ 1).$% Далее найдем $$\operatorname{rot}{\vec{a}}=\left| \matrix{\vec{i}&\vec{j}&\vec{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial{x}} & \dfrac{\partial}{\partial{y}} & \dfrac{\partial}{\partial{z}} \\ a_x & a_y & a_z } \right|= \left| \matrix{\vec{i}&\vec{j}&\vec{k} \\ \dfrac{\partial}{\partial{x}} & \dfrac{\partial}{\partial{y}} & \dfrac{\partial}{\partial{z}} \\ - x^{2} y^{3} & 2 & xz } \right|=0\cdot{\vec{i}}-z\cdot{\vec{j}}+3x^2y^2\cdot{\vec{k}}.$$ Тогда $%\langle\operatorname{rot}{\vec{a}},\ \vec{\nu}\rangle=3x^2y^2.$% По формуле Стокса $$\int\limits_{\Gamma}{\langle \vec{a},\ d\vec{r}\rangle}=\iint\limits_{G}{\langle\operatorname{rot}{\vec{a}},\ \vec{\nu}\rangle\ dS}=\iint\limits_{G}{3x^2y^2\ dS}.$$ Последний интеграл вычисляется переходом к полярным координатам $$\begin{cases} x=\rho \cos\varphi,\\ y=\rho \sin\varphi. \end{cases}$$ В области $%S$% имеем $%0<\rho,\;\; 0\leqslant\varphi < \sqrt{2},\ $% поэтому $$\iint\limits_{G}{3x^2y^2\ dS}=3\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}\int\limits_{0}^{2\pi}{\rho^4 \cos^2{\varphi}\sin^2{\varphi}\ \rho \ d{\varphi}\ d{\rho}}=3\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}{\rho^5 \ d{\rho}}\int\limits_{0}^{2\pi}{\cos^2{\varphi}\sin^2{\varphi} \ d{\varphi}}.$$

Непосредственное нахождение циркуляции $%\int\limits_{\Gamma}{\langle \vec{a},\ d\vec{r}\rangle}$% представляется несколько короче.Для этого достаточно использовать параметрическое представление кривой $%\Gamma.$% Действительно, на кривой $%\Gamma$% имеем $$\vec{a}=\left(-(\sqrt{2}\cos{t})^2 (\sqrt{2}\sin{t})^3,\;2,\; \sqrt{2}\cos{t}\right) =\left({-4\sqrt{2}\cos^2{t}\ \sin^3{t},\; 2,\; \sqrt{2}\cos{t}} \right),\\ d \vec{r}=\left(-\sqrt{2}\sin{t},\; \sqrt{2}\cos{t},\; 0 \right),$$ поэтому скалярное произведение $${\langle \vec{a},\ d\vec{r}\rangle}=8\cos^2{t}\ \sin^4{t}+2\sqrt{2}\cos{t}.$$ Полному обходу контура $%\Gamma$% соответствует изменение параметра $%t$% в пределах от $%0$% до $%2\pi.$% Таким образом, $$\int\limits_{\Gamma}{\langle \vec{a},\ d\vec{r}\rangle}=\int\limits_{0}^{2\pi}{\left(8\cos^2{t}\ \sin^4{t}+2\sqrt{2}\cos{t}\right)dt}=8\int\limits_{0}^{2\pi}{\cos^2{t}\ \sin^4{t}\ dt}.$$ Последнее равенство учитывает тот факт, что $%\int\limits_{0}^{2\pi}{\cos{t}\ dt}=0.$% Дальше остается лишь найти последний интеграл.

ссылка

отвечен 20 Янв '14 21:26

изменен 28 Янв '14 11:39

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,940

задан
20 Янв '14 15:58

показан
2423 раза

обновлен
28 Янв '14 11:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru