Объем пирамиды $% ABCD$% равен $%5$%. Через середины ребер $%AD$% и $%BC$% проведена плоскость, пересекающая ребро $%CD$% в точке $%M$%. При этом $%DM:MC=2:3$%. Найти площадь сечения, если расстояние от плоскости сечения до вершины $%A$% равно $%1$%.

задан 20 Янв '14 23:23

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%K$% и $%L$% -- середины $%AD$% и $%BC$% соответственно. Строим сечение, продолжая прямую $%KM$% до пересечения с $%AC$% в точке $%P$%. Далее проводим отрезок $%PC$%, который в точке $%N$% пересечёт $%AB$%. Тогда $%KMLN$% -- сечение. Оно делит пирамиду на два многогранника. Соединим $%A$% с точками $%L$% и $%M$%. Получатся две пирамиды. У одной из них, $%AKMLN$%, высота равна $%1$%, а площадь основания (сечения) пусть будет $%S$%. Тогда её объём равен $%S/3$%. Вторая пирамида -- это $%ALMC$%. Площадь её основания составляет $%(1/2)(3/5)$% от площади $%BCD$%. Поэтому объём составляет $%3/10$% от объёма всей пирамиды и равен $%3/2$%.

Теперь проделаем то же с точкой $%D$%, удалённой от плоскости сечения на такое же расстояние. Эту точку соединяем с $%L$% и $%N$%. Пирамида с основанием $%KMLN$% имеет объём $%S/3$%. Для нахождения объёма второй пирамиды, $%DBLN$%, нужно знать отношение, в котором точка $%N$% делит отрезок $%AB$%. Для этого можно дважды применить теорему Менелая, а можно сделать дополнительные построения и рассмотреть несколько пар подобных треугольников. Получится, что $%BN:NA=3:2$%. Из этого следует, что объём пирамиды $%DBLN$% равен $%(1/2)(3/5)$% от объёма всей пирамиды, то есть тоже равен $%3/2$%.

Таким образом, $%2S/3=5-2(3/2)$%, и $%S=3$%.

ссылка

отвечен 21 Янв '14 4:24

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,708
×471
×300

задан
20 Янв '14 23:23

показан
4677 раз

обновлен
21 Янв '14 4:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru